Enunciado

59. Um engenheiro esperto projeta uma mola que não satisfaz à lei de Hooke, mas que obedece à lei de força F x = - q x - x e 3 , onde x e é a posição de equilíbrio da extremidade da mola e q é a constante elástica da mola. Por simplicidade, vamos considerar x e = 0   m . Com isso, F x = - q x 3 .

a. Qual é a unidade de q ?

b. Desenhe o gráfico de F x versus x .

c. Obtenha uma expressão para a energia potencial desta mola distendida ou comprimida.

d. Uma arma de brinquedo funciona com uma mola desse tipo que arremessa uma bola de plástico de 20   g . Quanto vale a velocidade de lançamento se o valor da constante elástica da mola for de 40.000 , nas unidades que você determinou no item a, e se a mola for comprimida em 10   c m ? Considere que não exista atrito no cano da arma.

Passo 1

Opa! Aqui vamos nós de novo!

a) Olha só! A unidade de força é o N e w t o n   ( N ) . Já a unidade de comprimento padrão é o m e t r o   ( m ) .

Substituindo essas unidades na fórmula a seguir como se fossem números...

F x = - q x - x e 3

E como estamos trabalhando com análise dimensional, vamos simplesmente ignorar o sinal negativo do - q . Bora deixar só q mesmo...

Trocando F x por [ N ] e x - x e 3 por [ m 3 ] :

N = [ q ] ⋅ [ m 3 ]

[ q ] = N m 3

Obtemos que a unidade de q é o N / m 3 .

Passo 2

b) Em seguida, vamos plotar o gráfico da força F x em função da distância x .

Para cada valor positivo de x que usarmos, o valor de F x vai sempre ser negativo.

E cada vez que aumentamos esse valor de x , a força será ainda menor. De modo que temos o seguinte gráfico exposto na imagem abaixo...

Passo 3

c) Já no caso da expressão da energia potencial da mola... Para se resolver este item, bastar saber que a força elástica é nada mais nada menos do que o negativo da derivada da energia potencial em relação a posição x ;

F x = - d U d x

d U = - F x d x

U x = - ∫ F x d x

Bom! A partícula sai da posição inicial de equilíbrio x e = 0   m para uma posição x qualquer. Sendo assim, nosso limite de integração vai de 0 até x . E ficamos com...

U x = - ∫ 0 x F x d x

U x = - ∫ 0 x ( - q x 3 ) d x

U x = ∫ 0 x q x 3 d x = q x 4 4 0 x

U x = q x 4 4

Passo 4

d) Pra finalizar, temos que achar a velocidade de lançamento da bola.

Bora lá! Pelo que sabemos do enunciado a mola é comprimida 10   c m e o resultado dessa compressão faz com que a bola seja liberada com uma velocidade tal, que nós queremos saber.

Desse modo, fica fácil de entender que estamos nos deparamos com uma situação no qual energia potencial elástica é convertida em energia cinética.

Assim,

U i n i c i a l = K f i n a l

q x 4 4 = 1 2 m v 2

q x 4 = 2 m v 2

v 2 = q x 4 2 m

v = q x 4 2 m

E substituindo os valores que temos... Lembrando que uma vez que a mola foi comprimida em 10   c m , o valor de x vai ser - 10   c m ou 0,1   m ...

v = ( 40000   N / m 3 ) ( - 0,1   m ) 4 2 ⋅ ( 0,020   k g )

v = 10   m / s

Pronto! Obtemos nossa resposta e finalizamos aqui!

Resposta

a)

[ q ] = N m 3

b)

c)

U x = q x 4 4

d)

v = 10   m / s

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