Enunciado

Uma partícula no poço quadrado infinito tem como função de onda inicial uma mistura equilibrada dos dois primeiros estados estacionários:

Ψ x , 0 = A ψ 1 x + ψ 2 x

e) Se você medisse a energia dessa partícula, que valores obteria e qual a probabilidade de obter cada um deles? Calcule o valor esperado de H . Qual a diferença entre esses valores e os E 1 e E 2 ?

Passo 1

Como o estado da partícula é uma combinação linear dos dois primeiros estados estacionários, ela poderá então ter uma das duas energias relativas a cada estado, ou seja, ela pode ter:

E 1 = π 2 ℏ 2 2 m a 2

Ou então:

E 2 = π 2 ℏ 2 2 m a 2

E o interessante é que, como na combinação linear os dois estados possuem a mesma constante multiplicativa ( A = 1 2 ) , ambos os estados possuem a mesma probabilidade de ocorrência, então:

P 1 = P 2 = 1 2

Passo 2

O valor esperado de H é:

⟨ H ⟩   = ∫ 0 a Ψ *   H ^   Ψ   d x  

Sendo Ψ = A   [ Ψ 1 + Ψ 2 ] , vem que:

⟨ H ⟩   = A 2 ∫ 0 a Ψ 1 * + Ψ 2 * e - i ω t   H ^   ψ 1 + e - 4 i ω t   H ^   ψ 2   d x

Assim, podemos relacionar a expressão do segundo colchete com as energias de cada estado:

⟨ H ⟩   = A 2 ∫ 0 a Ψ 1 * + Ψ 2 * e - i ω t   E 2   ψ 1 + e - 4 i ω t   E 2   ψ 2   d x

Desse modo, vem:

⟨ H ⟩   = A 2 ∫ 0 a e i ω t   ψ 1 * + e 4 i ω t   ψ 2 * e - i ω t   E 1   ψ 1 + e - 4 i ω t   E 2   ψ 2   d x

Aplicando a distributiva:

⟨ H ⟩   = A 2 ∫ 0 a E 1 ψ 1 2   d x ⏝ E 1 + ∫ 0 a E 2 ψ 2 2   d x ⏝ E 2 + ∫ 0 a e 3 i ω t E 1 ψ 1 ψ 2 *   d x ⏝ 0 + ∫ 0 a e - 3 i ω t E 2 ψ 1 * ψ 2   d x ⏝ 0

Note que invocamos que as funções de onda de cada estado estavam normalizadas e que as funções de onda dos dois estados são ortogonais! Por conta disso que duas das integrais se anularam...

Então, para finalizar...

⟨ H ⟩   = E 1 + E 2 2

E voilà, o valor esperado do Hamiltoniano é a média das energias de cada estado!

Resposta

E 1 = π 2 ℏ 2 2 m a 2

E 2 = π 2 ℏ 2 2 m a 2

P 1 = P 2 = 1 2

⟨ H ⟩   = E 1 + E 2 2

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