Enunciado

Uma partícula de massa m no poço quadrado infinito (de largura a ) está na metade esquerda do poço e tem (em t = 0 ) probabilidade de ser encontrada em qualquer ponto daquela região.

a) Qual é a sua função de onda inicial, Ψ x , 0 ? (Suponha que seja real. Não se esqueça de normalizá-la).

b) Qual é a probabilidade de que a medição de energia produza o valor π 2 ℏ 2 / 2 m a 2 ?

Passo 1

E aí, beleza?? Vamos começar a resolver o item a).

Para determinar a função de onda, iremos assumir que todos os pontos contidos em 0 ≤ x ≤ a 2 são equiprováveis, já que nada foi especificado no enunciado (na verdade, o que ocorreu aqui foi um erro na tradução do livro, no original, em inglês, o enunciado afirma: ‘[...] and is (at t = 0   ) equally likely to be found at any point in that region[...]’, ou seja, afirma que todos os pontos são equiprováveis).

Assim, a função de onda é do tipo:

Ψ x , 0 = A , 0 ,   s e   0 ≤ x ≤ a 2 q u a l q u e r   o u t r o   x    

Normalizando, temos:

Ψ x , 0 2 = A 2 → ∫ 0 a 2 A 2 d x = 1

Assim...

A = 2 a

Dessa forma, a função de onda fica:

Ψ x , 0 = 2 / a   , 0 ,   s e   0 ≤ x ≤ a 2 q u a l q u e r   o u t r o   x

Passo 2

Vamos agora resolver o item b)!

Para determinar a probabilidade de medirmos a energia correspondente ao primeiro nível energético, devemos escrever a função de onda como uma série se Fourier e determinar o coeficiente c 1 . Como já fizemos isso na questão anterior, vamos poupar alguns passos:

c 1 = A 2 a   ∫ 0 a 2 sen ⁡ π a   x d x = 2 a - a π cos ⁡ π a   x 0 a 2  

Portanto...

c 1 = 2 π

Passo 3

Assim fica fácil determinar a probabilidade de se encontrar a partícula com a energia do estado fundamental: basta elevar c 1 ao quadrado!

P 1 = c 1 2 = 0,4053

Resposta

a )   Ψ x , 0 = 2 / a   , 0 ,   s e   0 ≤ x ≤ a 2 q u a l q u e r   o u t r o   x

b )   P 1 = c 1 2 = 0,4053

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