Enunciado

Uma partícula que tem massa m está viajando na direção do aumento de x. A energia potencial da partícula é igual a zero em toda a região x 0, onde U0> 0. (a) Mostre que se a energia total é E = αU0, onde α ≥ 1, o número da onda k2 na região x> 0 é dado por k2 = k1 (α - 1) α, onde k1 é o número da onda na região x

Passo 1

(a) Usando a conservação de energia, a energia total da partícula deve ser igual a:

2 U 0 = ℏ 2 k 2 2 2 m - U 0

Isolando k 2 :

ℏ 2 k 2 2 2 m = - 2 U 0 - U 0 = 3 U 0

k 2 2 = 6 m U 0 ℏ 2

k 2 = 6 m U 0 ℏ 2

k 2 = 6 m U 0 ℏ

Para k 1 :

2 U 0 = ℏ 2 k 1 2 2 m

k 1 = 4 m U 0 ℏ

Então:

k 2 k 1 = 6 m U 0 ℏ 4 m U 0 ℏ = 6 m U 0 4 m U 0

k 2 k 1 = 6 m U 0 4 m U 0

k 2 k 1 = 6 4

k 2 = k 1 3 2

Passo 2

(b) O coeficiente de reflexão é:

R = k 1 - k 2 2 k 1 + k 2 2

Arrumando:

R = k 1 2 1 - k 2 k 1 2 k 1 2 1 + k 2 k 1 2

R = 1 - k 2 k 1 2 1 + k 2 k 1 2

Como vimos no passo anterior:

R = 1 - 3 2 1 + 3 2 2

R = 0,0102

Passo 3

(c)Assim, como o coeficiente de transmissão é:

T = 1 - R

Temos:

T = 1 - 0,0102

T = 0,99

Passo 4

(d) Se colocarmos N 0 representando o número de partículas incidentes na etapa potencial, o número que continua pela direção negativa de x é:

N 0 T = 10 6 0,99 = 9,9 × 10 5

Classicamente, todos as 10 6 partículas continuariam a ultrapassar a etapa potencial.

Resposta

(a) k 2 = k 1 3 2

(b) R = 0,0102

(c) T = 0,99

(d) 9,9 × 10 5

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