Enunciado

Uma pedra é atirada do topo de um edifício de 20 m de altura a um ângulo de 53° acima da horizontal. (a) Se o alcance horizontal é igual à altura do prédio, com que rapidez a pedra foi atirada? (b) Quanto tempo ela fica no ar? (c) Qual é a velocidade da pedra justo antes de atingir o chão? (Ignore a resistência do ar.)

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão. Temos uma pedra lançada sem resistência ao ar do alto de um prédio. Então na horizontal o movimento tem velocidade constante v 0 x e na vertical temos aceleração constante a = - g (negativa pois a gravidade está para baixo).

A imagem a seguir pode nos ajudar a entender melhor o enunciado:

Sabemos que a altura do prédio é igual ao alcance da pedra. E ele quer saber a rapidez inicial dessa pedra v 0 .

Como os movimentos vertical e horizontal são independentes, a gente pode começar escrevendo a expressão das componentes da velocidade inicial: v 0 x e v 0 y

v 0 x = v 0 cos ⁡ θ

v 0 y = v 0   s e n   θ

Aí partir dessas informações e das equações referentes a cada tipo de movimento, vamos chegar no valor de v 0 . Bora lá!

Passo 2

Vamos começar equacionando o movimento horizontal. A gente tem o deslocamento, e sabe que o movimento na horizontal tem velocidade constante. Logo v 0 x vai ser a velocidade de todo o movimento. Por isso, a gente pode usar a equação:

x = x 0 + v t

x - x 0 = v t

Onde v = v 0 x = v 0 cos ⁡ θ 0 :

x - x 0 = v 0 cos ⁡ θ 0 t

Agora vamos analisar o movimento vertical. Também temos o deslocamento. E sabemos que a acelaração é a da gravidade a y = - g = - 9,8     m / s 2 . Pensamos nessas coisas, a gente pode usar a equação horário da posição para a constante:

y - y 0 = v 0 y t + 1 2 a y t 2

Lembrando que temos uma expressão para v 0 y e a :

y - y 0 = ( v 0 sin ⁡ θ 0 ) t - 1 2 g t 2

Passo 3

Percebe que a gente tem duas equações:

x - x 0 = v 0 cos ⁡ θ 0 t

y - y 0 = ( v 0 sin ⁡ θ 0 ) t - 1 2 g t 2

E temos duas incógnitas, t e v 0 . Como queremos v 0 , vamos isolar t a primeira equação e substituir na segunda:

x - x 0 = v 0 cos ⁡ θ 0 t → t = x - x 0 v 0 cos ⁡ θ 0

Substituindo na segunda:

y - y 0 = ( v 0 sin ⁡ θ ) x - x 0 v 0 cos ⁡ θ   - 1 2 g x - x 0 v 0 cos ⁡ θ 2  

Como y 0 = x , temos que:

y - y 0 = ( y 0 tan ⁡ θ )   - 1 2 g y 0 v 0 cos ⁡ θ 2

Isolando v 0 e substituindo os valores, temos:

y 0 v 0 cos ⁡ θ = - 2 g y - y 0 + y 0 tan ⁡ θ 1 2

y 0 2 g - y - y 0 + y 0 tan ⁡ θ 1 2 cos ⁡ θ = v 0

v 0 = 20 - 2 9,81 0 - 20 + 20 tan ⁡ 53 ° 1 2 cos ⁡ 53 °

v 0 = 10,79   m / s

Passo 4

b) Cara, a gente viu no passo 2 que horizontalmente, vale que

x - x 0 = v 0 cos ⁡ θ 0 t → t = x - x 0 v 0 cos ⁡ θ 0

Então a gente pode achar o tempo de vôo por essa equação. Vamos substituir nossos dados:

t = 20 - 0 10,79 ⋅ cos ⁡ 53 °

t = 3,08   s

Passo 5

c) Agora temos que encontrar as componentes da velocidade final da pedra para expressar nossa velocidade dela ao atingir o chão, no momento que chega ao solo, na forma de vetor.

A componente horizontal é a mesma durante todo o movimento porque essa direção a velocidade é constante. Então podemos dizer que

v x = v 0 x = v 0 cos ⁡ θ

v x = 10,79 ⋅ cos ⁡ 53 °

v x = 6,5   m / s

Já para a vertical, podemos usar a equação horária da velocidade para aceleração constante:

v y = v 0 y + a y t

Sendo que v 0 y = v 0 sin ⁡ θ e a y = - g :

v y = v 0 sin ⁡ θ - g t

Substituindo os dados:

v y = 10,79 ⋅ sin ⁡ 53 ° - 9,81 ⋅ 3,08

v y = - 21,6   m / s

A velocidade final será:

v → = 6,5 m s i ^ + - 21,6 m s j ^

Obs: as respostas do gabaritos estão mais arredondadas, mas estamos certinhos aqui também, tá?

Resposta

a ) v 0 = 10,79   m / s

b ) t = 3,08   s

c ) v → = 6,5 m s i ^ + - 21,6 m s j ^

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