Enunciado

Um pêndulo cônico é formado por uma bola de 500   g presa a um barbante de 1,0   m   de comprimento, fazendo com que a massa se mova em um círculo horizontal com 20   c m de raio. A figura P 8.35 mostra que, ao girar, o barbante descreve a superfície de um cone imaginário, daí o nome do dispositivo.

a. Quanto vale a tensão no barbante?

b. Qual é a velocidade angular da bola, em r p m ?

Passo 1

Olá, tudo bem?

Vamos primeiro anotar todos os dados (nas unidades do SI) que o problema nos trás:

m = 0,5 k g

l = 1 m

r = 0,2 m

T = ?

ω = ?

Nesse sistema temos duas forças agindo na massa m : a força gravitacional P → , que aponta verticalmente para baixo e a força tensora T → , que aponta para cima ao longo do fio.

A componente vertical da tensão vai contrabalançar a gravidade, já a componente horizontal vai ser igual à força centrípeta. Assim temos um sistema:

T y = m g T x = m v 2 r

Para visualizar melhor, vamos fazer um esboço da situação:

Do desenho podemos tirar o ângulo de abertura do pêndulo. Esse ângulo é formado pelo fio de sustentação de 1 m e a linha tracejada. O raio da trajetória vai ser o cateto oposto e o fio vai fazer o papel de hipotenusa. Assim com o seno conseguimos calcular o ângulo θ :

s e n θ = r l

s e n θ = 0,2 1

θ = s e n - 1 0,2 = 11,54 °

Daí podemos tirar a componente vertical e horizontal da tensão em função do ângulo θ :

T y = T c o s θ

T x = T s e n θ

E nosso sistema de equações fica:

T c o s θ = m g T s e n θ = m v 2 r

Agora que equacionamos todo nosso problema, podemos começar a resolver o que se pede =D

Passo 2

Letra a)

Queremos saber a tensão no barbante, então da primeira equação do nosso sistema temos:

T c o s θ = m g

O ângulo vale 11,54 ° , a massa é 0,5 k g , e a gravidade vale 9,8 m / s 2 . Então é só substituir e jogar na calculadora:

T = m g c o s θ = 0,5.9,8 cos ⁡ 11,54 ° = 5 N

Tranquilo? Agora vamos calcular a letra (b)

Passo 3

Letra b)

Queremos a velocidade angular ω . E sabemos que v = ω r , certo? Então da segunda equação do nosso sistema temos:

T s e n θ = m v 2 r

Substituindo v por ω r teremos uma expressão que relaciona a tensão (acabamos de calcular), o ângulo de abertura, o raio da trajetória e a massa. Então vamos ter uma expressão que envolve todos os valores que temos! Daí fica tranquilo pra gente resolver, saca só:

T s e n θ = m r ω r 2

T s e n θ = m ω 2 r 2 r

T s e n θ = m r   ω 2

ω 2 = T s e n θ m r

ω = T s e n θ m r

A tensão é 5 N , o θ vale 11,54 ° , a massa e o raio valem 0,5 k g e 0,2 m respectivamente, então basta substituir tudo e jogar na calculadora:

ω = 5 . s e n 11,54 ° 0,5.0,2 = 3,15 r a d / s

E por fim, devemos transformar esse valor em r a d / s para r p m . Para isso é só multiplicar o valor da velocidade que encontramos pelo fator 60 2 π :

ω = 3,15 r a d s × 60 2 π = 30 r p m

Beleza?

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

a ) 5 N

b ) 30 r p m

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