Enunciado

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desse livro

Um pequeno bloco de massa m é colocado no interior de um cone invertido que gira em torno do eixo vertical de modo que o tempo para uma revolução é igual a T (Figura 5.83 ). As paredes do cone fazem um ângulo β com a vertical. O coeficiente de atrito estático entre o bloco e o cone é μ s . Para que o bloco permaneça a uma altura h acima do vértice do cone, qual deve ser o valor máximo e o valor mínimo de T ?

Passo 1

Fala galera, tudo bem? A ideia aqui é resgatar o resultado da velocidade máxima e mínima para uma bolinha de massa m permanecer a uma certa altura h o exercício 96 dessa mesma seção. Se você passou reto por esse exercício, a gente chegou nesse resultado:

Para aceleração máxima temos que,

a = g s e n β + μ c o s β c o s β - μ s e n β

Para aceleração mínima,

a = g s e n β - μ c o s β c o s β + μ s e n β

Lembrando que a velocidade poderá ser calculada por,

v = a R

Com esse resultado em mãos e lembrando que a velocidade é inversamente proporcional ao período, a gente pode encontrar as expressões para os períodos máximo e mínimo. Mas calma, vamos por partes =)

Passo 2

Para resolver essa questão vamos relembrar da relação entre velocidade linear v e período T :

v = 2 π R T

Tranquilo?

Agora vou fazer mais uma coisinha: vou relacionar a altura h com o raio R associado a essa altura, saca só no desenho:

No nosso caso o raio R pode ser relacionado com a tangente de β e a altura h :

t g β = R h

R = h   t g β

E o período T fica:

v = 2 π R T

T = 2 π R v

T = 2 π h t g β v

Passo 3

Agora relembrando do exercício 5 . 96 onde foram encontrados os valores de máximo e mínimo das velocidades:

v m í n = g h t g β   . c o s β - μ s s e n β s e n β + μ s c o s β

v m á x = g h t g β   . c o s β + μ s s e n β s e n β - μ s c o s β

Passo 4

Sendo assim podemos relacionar o valor mínimo do período com o valor máximo da velocidade (já que eles são inversamente proporcionais):

T = 2 π h t g β v

Para o valor mínimo temos o máximo da velocidade:

T m í n = 2 π h t g β g h t g β   . c o s β + μ s s e n β s e n β - μ s c o s β

T m í n = 2 π h t g β g . ( s e n β - μ s c o s β ) ( c o s β + μ s s e n β )

E da mesma forma associar o valor máximo do período com o valor mínimo da velocidade:

T m á x = 2 π h t g β g h t g β   . c o s β - μ s s e n β s e n β + μ s c o s β

T m á x = 2 π h t g β g . ( s e n β + μ s c o s β ) ( c o s β - μ s s e n β )

Beleza?

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

T m í n = 2 π h t g β g . ( s e n β - μ s c o s β ) ( c o s β + μ s s e n β )

T m á x = 2 π h t g β g . ( s e n β + μ s c o s β ) ( c o s β - μ s s e n β )

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