Responde Aí

Enunciado

Um pequeno objeto de massa m se move em um círculo horizontal de raio r sobre uma mesa rugosa. Ele está preso a uma corda horizontal fixa no centro de um círculo. A rapidez do objeto é inicialmente v 0 . Depois de completar uma viagem completa em torno do círculo, a rapidez do objeto é 0,5 v 0 . (a) Encontre a energia dissipada pelo atrito durante essa única revolução em termos de m , v 0 e r . (b) Qual é o coeficiente de atrito cinético? (c) Quantas revoluções a mais o objeto vai completar antes de atingir o repouso?

Passo 1

(a) De onde veio a energia que foi dissipada pelo atrito? Era a energia cinética que mantinha a rapidez v 0 .

Então para calcular a energia dissipada, basta calcular a variação de energia cinética quando a rapidez vai de v 0 para 0,5 v 0 :

E d i s s = - Δ K = 1 2 m v 2 2 - v 1 2

E d i s s = - 1 2 m 0,5 v 0 2 - v 0 2

E d i s s = - 1 2 m 1 4 v 0 2 - v 0 2

E d i s s = - 1 2 m 1 4 v 0 2 - 4 4 v 0 2 = 3 8 m v 0 2

Passo 2

(b) Para calcular o coeficiente de atrito cinético, vamos dar uma olhada na expressão para a energia dissipada pelo atrito. Essa energia é igual ao módulo do trabalho realizado pela força de atrito:

E d i s s = W = F a t   d

E a distância d percorrida durante uma revolução é o comprimento 2 π r da circunferência.

E d i s s = ( μ m g ) ( 2 π r )

μ = E d i s s 2 π r m g = 3 8 m v 0 2 2 π r m g

μ = 3   v 0 2 16   π g r

Passo 3

(c) Nós vimos que a energia dissipada na primeira revolução foi:

E d i s s = 3 8 m v 0 2

Que equivale a 3 4 da energia cinética total do objeto:

E d i s s = 3 4 1 2 m v 0 2 = 3 4 K o

E então, para que o objeto pare completamente, é preciso perder o outro “quarto” da energia:

E r e s t a n t e = 1 4 K 0

Se uma revolução completa dissipa três quartos, bastaria um terço de revolução para dissipar essa energia restante.

Resposta

(a) E d i s = 3 8 m v 0 2 .

(b) Δ E m e c = 3   v 0 2 16   π g r .

(c) Bastaria um terço de revolução a mais para que o objeto parasse completamente.

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