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Uma plataforma horizontal com a forma de um disco circular gira sem atrito em torno de um eixo vertical que passa pelo centro do disco. A plataforma tem uma massa de 150   k g , um raio de 2,0   m e um momento de inércia de 300   k g ∙ m 2 em relação ao eixo de rotação. Uma estudante de 60   k g caminha lentamente, a partir da borda da plataforma, em direção ao centro. Se a velocidade angular do sistema é 1,5   r a d / s quando a estudante está na borda, qual é a velocidade angular quando está a 0,50   m de distância do centro?

Passo 1

Show de bolinhas pessoal, como a plataforma gira em torno de um certo eixo, temos que no momento inicial o sistema plataforma-estudante vai possuir um momento angular dado como:

L i = I s ω

Onde ω é a velocidade angular que o conjunto plataforma-estudante possui. Após o movimento do estudante em direção ao eixo de rotação, teremos um segundo momento em que teremos um outro momento angular, dado por:

L f = I s ' ω '

Como o momento angular do sistema se conserva, temos que:

L i = L f

I s ω = I s ' ω '

Ou seja, pra gente descobrir qual a velocidade angular final ω '   do conjunto, precisamos encontrar primeiro os momentos de inércia em cada instante. Então bora lá ver como que fica isso aí.

Passo 2

No momento em que o estudante está na borda o momento de inércia do sistema é:

I s = I d i s c o + I e s t u d a n t e

Tratanto o estudante como uma partícula de massa m , teremos que seu momento de inércia a em relação ao eixo numa distância r , é dada como:

I e s t u d a n t e = m r 2

Logo:

I s = I d i s c o + m r 2

No instante inicial o estudante está a uma distância r = 2,0   m do eixo de rotação, de forma que substituindo os valores que o enunciado nos fornce, vamos ter que:

I s = 300   kg.m² ⏝ I d i s c o + 60 × 2 2 ⏝ I e s t u d a n t e

I s = 540   kg∙ m 2

Belezera, já no instante posterior, quandoo estudante se encontra a uma distância r = 0,5   m do eixo de rotação, teremos que o momento de inércia do sistema vai ser dado como:

I s ' = 300 + 60 × 0,5 2

I s ' = 315   kg∙ m 2

Passo 3

Aplicando a lei de conservação do momento angular, temos:

I s ω = I s ' ω '

Substituindo os valores:

540 × 1,5 = 315 ω '

Isolando ω ' :

ω ' = 540 × 1,5 315

ω ' = 2 , 6   rad/s

Resposta

ω ' = 2,6   rad/s

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