Enunciado

Se um pneu furar, o gás no interior vazará gradualmente. Suponha o seguinte: a área do furo é A; o volume do pneu é V; e o tempo, τ, que leva para a maior parte do ar vazar do pneu pode ser expresso em termos da razão A V , da temperatura T, da constante Boltzmann k e da massa inicial m do gás dentro do pneu.

  1. Com base nestas suposições, use a análise dimensional para fazer uma estimativa para τ.
  2. Use o resultado da Parte (a) para estimar o tempo que leva para esvaziar um pneu de carro que foi furado por um prego.

Passo 1

Bom, vamos com calma. Sabemos que o tempo τ é dado em função da razão A V , da temperatura T, da constante Boltzmann k e da massa inicial m do gás dentro do pneu.

Suponhamos então que cada uma se relaciona ao tempo por uma constante:

τ = A V a . T b . k c . m d

Vamos reescrever esta equação em função das suas unidades, para igualarmos os dois lados da equação e descobrir o valor das constantes.

Confuso? Mais do que parece.

Vamos por partes:

τ = t e m p o = T

A V = c o m p r i m e n t o 2 c o m p r i m e n t o 3 = 1 c o m p r i m e n t o = 1 L  

m = m a s s a = M

T = k e l v i n s = K

k = J K = M L 2 T ² . K

Substituímos:

T 1 = 1 L a . K b . M L 2 T 2 . K c . M d

Separando todas as unidades:

T 1 = L - a . K b . M c . L 2 c . T - 2 c . K - c . M d

Juntamos todas as iguais:

T 1 = L 2 c - a . K b - c . M c + d . T - 2 c

Do lado esquerdo da nossa igualdade temos somente T, então as demais unidades deverão ser transformadas em 1, ou seja, tem expoente igual a zero:

- 2 c = 1 → c = - 1 2

2 c - a = 0 → 2 - 1 2 - a = 0 → a = - 1

b - c = 0 → b - - 1 2 = 0 → b = - 1 2

c + d = 0 → - 1 2 + d = 0 → d = 1 2

Substituindo na equação do tempo original:

τ = A V - 1 . T - 1 2 . k - 1 2 . m 1 2

Reagrupando:

τ = V A . m T k

Achamos uma estimativa para o tempo, agora vamos para a letra b.

Passo 2

Antes de tudo vamos assumir o diâmetro do prego é 2 mm e que o volume do pneu seja 0,1 m³. E que este processo ocorre a temperatura de 20°C.

Então:

V = 0,1   m ³

d p r e g o = 0,002   m

A = π . 0,002   m 2 2 = π . 1 x 10 - 3 2

T = 20 ° C + 273 = 293   K

Não temos a massa, mas sabemos que ela pode ser calculada como:

ρ = m V

Já temos o volume, e a densidade deste material é tabelada:

ρ = 1,293 k g m 3

Então:

m = 0,1 m ³ . 1,293 k g m 3 = 0,1293   k g

Substituindo tudo o que temos para achar o tempo:

τ = 0,1 m ³ π . 1 x 10 - 3 2 . 0,1293   k g 293   K 1,381 J K

τ = 569   s   ≈ 9   m i n

Resposta

  1. τ = V A . m T k ;
  2. τ = 569   s   ≈ 9   m i n .
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Quando um carro percorre uma certa distância, a pressão do ar nos pneus aumenta. Por quê? Para reduzir a pressão, você deveria retirar um pouco de ar do pneu? Justifique sua resposta.
O líquido refrigerante no radiador de um automóvel é mantido sob pressão maior que a atmosférica. Por que isso é desejável? A tampa do radiador libera um pouco do líquido refrigerante quando a pressão
O modelo cinético-molecular contém uma hipótese implícita acerca da temperatura das paredes do recipiente. Qual é essa hipótese? O que ocorreria se essa hipótese não fosse válida?
Comente a seguinte afirmação: quando dois gases são misturados, eles devem possuir a mesma velocidade molecular média para que permaneçam em equilíbrio térmico. Essa afirmação está correta? Justifique
A temperatura de um gás ideal é diretamente proporcional à energia cinética média de suas moléculas. Se o recipiente de um gás ideal estivesse passando por você a 2.000 m/s, a temperatura do gás seria