Enunciado

A potência deve ser transmitida ao longo de uma corda esticada por meio de ondas harmônicas transversais. A velocidade da onda é de 10 m / s e a densidade de massa linear da corda é de 0,010 kg / m. A fonte de potência oscila com uma amplitude de 0,50 mm. (a) Que potência média é transmitida ao longo da corda se a frequência é de 400 Hz? (b) A potência transmitida pode ser aumentada aumentando a tensão na corda, a frequência da fonte ou a amplitude das ondas. Em quanto cada uma dessas quantidades teria que aumentar individualmente para causar um aumento de potência de um fator de 100?

Passo 1

a) Olá, querido! Ele quer a potência média transmitida ao longo da corda, certo? Para a nossa felicidade, temos uma fórmulinha que dá exatamente o que ele pediu. Essa aqui:

P m = 1 2 μ w 2 A 2 v

Sendo que μ é a densidade linear da corda, w é a frequência angular, A é a amplitude e v é a velocidade da onda.

Mas pera, ele deu esses dados:

v = 10   m / s

μ = 0,010   k g / m

A = 0,5   m m = 0,5 × 10 - 3 m

f = 400   H z

Repara que não temos w . O que a gente faz? Aaah vamos lembrar da fórmulinha que relaciona w e f e substituir essa belezinha na nossa expressão da potência. Temos

w = 2 π f

Substituindo

P m = 1 2 μ 2 π f 2 A 2 v

P m = 2 μ π 2 f 2 A 2 v

Passo 2

E então basta substituirmos cada um dos valores dados na equação para obtermos o valor da potência media pedido na letra (a):

P m = 2 0,01 π 2 400 2 0,5 × 10 - 3 2 10

P m = 0,079   W = 79 m W

Passo 3

b) Na letra (b), precisamos saber a quantidade que precisamos aumentar de cada uma das grandezas faladas no enunciado para que a potência média aumente 100 vezes. No caso da frequência:

P m = 1 2 μ w 2 A 2 v = 1 2 μ 2 π f 2 A 2 v

Então:

P m ∝ f 2

Ou seja, a potência média é proporcional ao quadrado da frequência. Se aumentarmos em 10x a frequência, a potência média aumentará em 100 vezes.

Passo 4

No caso da tensão na corda, precisamos lembrar da equação que relaciona tensão e velocidade na corda. É essa aqui:

v = F μ

Substituindo isso na potência

P m = 1 2 μ w 2 A 2 v

P m = 1 2 μ w 2 A 2 F μ

Daí vemos que

P m ∝ v ∝ F

Ou seja, a potência e a velocidade são proporcionais a raiz quadrada da tensão na corda.

Se aumentarmos em 10000x a tensão, aumentaremos em 100x a velocidade e por consequência a potência média.

Passo 5

P m = 1 2 μ w 2 A 2 v

E no caso da amplitude:

P m ∝ A 2

Então se aumentarmos em 10 vezes a amplitude, aumentaremos em 100 vezes a potência média.

Resposta

a) P m = 0,079   W = 79 m W

b) Aumentar 10 vezes a frequência ou a amplitude. Ou aumentar 10 000 vezes a tensão.

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