Enunciado

Potência instantânea em uma onda estacionária. De acordo com a Equação (15.21), a taxa instantânea de energia transferida por uma onda ao longo de uma corda ( a potência instantânea) é dada por

P x , t = - F ∂ y x , t ∂ x ∂ y x , t ∂ t

Onde F é a tensão.

a) Obtenha P x , t para uma onda estacionária dada pela Equação (15.28).

b) Mostre que para todos os valores de x a potência média P m e d transportada pela onda é igual a zero. (A Equação 15.25) não se aplica para ete caso. Você pode explicar por quê?)

c) Para uma onda estacionária dada pela Equação (15.28), faça um gráfico de P x , t e do deslocamento y ( x , t ) em função de x para t = 0 , t = π 4 ω , t = π 2 ω e t = 3 π 4 ω . (Um valor positivo de P ( x , t ) indica que a energia flui no sentido crescente + x , um valor negativo de P x , t indica que a energia flui no sentido decrescente - x .)

d) A energia cinética por unidade de comprimento da corda é mais elevada nos locais onde a corda possui maior velocidade transversal e a energia potencial por unidade de comprimento da corda é mais elevada nos locais onde a corda possui maior inclinação (porque neste ponto ocorre maior tensão na corda). (Vjea o problema desafiador 15.81). Usando essas ideias, discuta a transfencia de energia ao longo da corda.

Passo 1

A função de onda que quermos começar analisando é a seguinte:

y x , t = A   s e n   k x   s e n   ( ω t )

A equação que vamos utilizar para calcular a potência é:

P x , t = - F ∂ y x , t ∂ x ∂ y x , t ∂ t

Passo 2

a) Para calcular a potencia da nossa função de onda precisamos calcular a primeira derivada no tempo e no espaço.

Derivada no tempo:

∂ y x , t ∂ t = ∂ A   s e n   k x   s e n   ( ω t ) ∂ t = A ω   s e n   k x cos ⁡ ω t

Derivada no espaço:

∂ y x , t ∂ x = ∂ A   s e n   k x   s e n   ( ω t ) ∂ x = A k   c o s   k x sen ⁡ ω t

Substituindo na equação da potência:

P x , t = - F A ω   s e n   k x cos ⁡ ω t A k   c o s   k x sen ⁡ ω t

P x , t = 1 4 F A 2 ω k   s e n   2 k x s e n ( 2 ω t )

Passo 3

b) O valor médio da potência é proporcional a s e n ( 2 ω t ) e se calcularmos a média de uma função seno iremos verificar que é zero, logo a portência média é igual a zero.

Para a equação 15.25 isso não se aplica, pois nela não tem nenhuma função seno logo o valor da potência média será diferente de zero.

Passo 4

c) Para plotar o gráfico vamos utilizar a equação da potência que obtemos no item (a).

Gráfico de t = 0 :

Gráfico de t = π 4 ω :

Gráfico de t = π 2 ω :

Gráfico de t = 3 π 4 ω :

Passo 5

d) Quando a corda estacionária está em seu deslocamento máximo em todos os pontos, toda a energia é potencial e é concentrada nos locais onde a inclinação é mais ingrime (os nós). Quando a onda estacionária tem deslocamento zero toda a energia é cinética e fica concentrada onde as partículas se movem mais rapidamente (os antinodos). Então a energia deve ser transferidas dos nós para o antinodos e vice-versa. Observe que P é maior entre os nós e antinodos adjacentes, é que P desaparece nos nós e antinodos.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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