Enunciado

Uma certa onda transversal senoidal com um comprimento de onda de 20   c m está se propagando no sentido positivo ele um eixo x . A Figura mostra a velocidade transversal da partícula situada em x = 0 em função do tempo; a escala do eixo vertical é definida por u s = 5,0 c m s . Qual é (a) a velocidade, (b)a amplitude e (c) a freqüência da onda? (d)Plote a onda entre x = 0 e x = 20   c m   para o instante t = 2,0   s .

Passo 1

(a)Pra gente responder a essa primeira pergunta, basta lembrarmos que f = 1 T . Nesse caso, a gente consegue observar no gráfico que o período para a realização de um ciclo completo é igual a T = 4,00   s . Então, f = 1 4 = 0,25   H z . Daí, temos que v = λ × f = 0,20 m × 0,25   H z = 5 c m s

Passo 2

(b) Aqui, vamos lembrar de alguns resultados importantes com relação à equação geral da velocidade de uma onda progressiva. Como diz o enunciado, a velocidade é descrita por uma senoidal do tipo:

u = u s s e n ( k x - ω t + ϕ )

Como o gráfico que a representa nos mostra que, para x = t = 0 , u = 0 , a gente já pode concluir que:

ϕ = 0

Agora, você lembra como obtemos a equação da velocidade a partir da equação da posição y ( x , t ) ? Fizemos isso depois que derivamos a equação de y ( x , t ) com relação ao tempo t . Então, pra gente obter a equação de y a partir da de u , basta a gente integrar u = u s s e n ( k x - ω t + ϕ ) com relação ao tempo. Fazendo isso, a gente obtém:

y x , t = ∫ 0 t u s s e n k x - ω t + ϕ d t = - ( u s / ω )   c o s ( k x - ω t ) + C

, sendo C uma constante (como, em x = t = 0 , y = 0 , segue que C = 0   ).

Então, temos que

y x , t = - ( u s / ω )   c o s ( k x - ω t )

A amplitude y m da onda, então, é igual à constante que multiplica o cosseno:

y m = u s ω = 5,0 c m s 2 π × f = 5,0 c m s 2 π × ( 0,25   s - 1 ) ≅ 3,18   c m

Passo 3

(c) Fomos rápidos dessa vez e já calculamos esse valor no passo 1. Essa freqüência vale 0,25   H z .

Passo 4

(d)Pra gente plotar a equação da onda entre x = 0 e x = 20   c m , no tempo t = 2,0 s , vamos, primeiro, substituir esse tempo na equação encontrada para y ( x , t ) :

y x , t = - ( u s / ω )   c o s ( k x - ω t )

y x , t = - ( 3,18 )   c o s ( 31,4 x - 1,57 t )

y x , t = 2 = - 3,18 c o s 31,4 x - 1,57 × 2 = - 3,18 c o s 31,4 x - 3,14

Daí, podemos encontrar o seguinte gráfico para essa equação, cujo eixo das ordenadas está em centímetros:

Resposta

(a) 5 c m s

(b)   3,18   c m

(c)   0,25   H z

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