Enunciado

Esse problema foi projetado para guia-lo durante a ‘verificação’ do teorema de Plancherel, começando pela teoria de Fourier comum em um intervalo finito e depois permitindo que esse intervalo se expanda ao infinito.

b) Demonstre (por meio da modificação apropriada do truque de Fourier) que

c n = 1 2 a ∫ - a + a f x   e - i n π x a d x

Passo 1

Para resolvermos esse item, vamos aproveitar a função f x escrita no modo em que foi sugerido no item anterior e aplicar o truque de Fourier:

∫ - a + a f x   e - i m π x a d x = ∑ n = - ∞ + ∞ c n ∫ - a + a   e i ( n - m ) π x a d x  

Vamos então, resolver essa integral para um m qualquer.

Passo 2

Para resolver essa integral, temos que analisar dois casos. Vamos ao primeiro: n ≠ m :

I = ∫ - a + a   e i ( n - m ) π x a d x = e i n - m π x a i n - m π a - a a = e i n - m π - e - i n - m π i n - m π a

Portanto, como m e n são inteiros, da relação de Euler, vem:

e ± i k π = e ± i π k = cos ⁡ ± π ⏝ - 1 + i sen ⁡ ± π ⏝ 0 k

e i k π = - 1 k

Assim, vem:

I = - 1 n - m - ( - 1 ) ^ ( n - m ) i n - m   π / a = 0

Ou seja, caso m ≠ n , a integral se anula.

Passo 3

Agora, caso m = n , temos:

I = ∫ - a a d x = 2 a

Portando, a relação para c n fica:

2 a   c n = ∫ - a + a f x   e - i n π x a d x

E, por fim:

c n = 1 2 a ∫ - a + a f x   e - i n π x a d x

Como queríamos demonstrar!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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