Enunciado

Esse problema foi projetado para guia-lo durante a ‘verificação’ do teorema de Plancherel, começando pela teoria de Fourier comum em um intervalo finito e depois permitindo que esse intervalo se expanda ao infinito.

d) Tome o limite a → ∞ para obter o teorema de Plancharel.

Comentário: em virtude de suas origens bem diferentes, é surpreendente (e encantador) que as duas fórmulas – uma para F ( k ) em termos de f x e outra para f x em termos de F ( k ) – tenham uma estrutura tão similar no limite a → ∞ .

Passo 1

Quando a → ∞ , devemos notar que Δ k → d k e que o somatório tenderá a uma integral, portanto:

f k = 1 2 π   ∫ - ∞ ∞ F k e i k x d x

Passo 2

Já para o caso inverso, o limite é mais simples, uma vez que, mesmo com os limites sendo - a e a , já se trata de uma integral:

f k = 1 2 π   ∫ - ∞ ∞ F k e i k x d x

E assim, demonstramos o teorema de Plancharel! 😊

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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