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Enunciado

Física - Alonso e Finn - Mecânica- Ed: 2º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 30

Prove que o tempo gasto para que a bola do Prob. 9.29 pare de pular é t = √[(2h/g)*(1 + e)/(1 - e)].

Passo 1

Fala galeraa, tudo bem??

Antes de tudo, vamos lembrar que, em queda livre, a equação geral para encontrarmos o tempo é:

t = 2 h g , sendo, aqui no nosso caso, aplicado a diferentes alturas h1, h2, h3,...,hn.

Já para os diferentes deslocamentos da subida, o tempo pode ser dada pela fórmula geral:

t = v i / g

Sendo assim, temos que o tempo total será sempre uma soma do tempo em queda livre, com o tempo do retorno da bola, tendo, então:

t = ( 2 h 1 g   + 2 h 2 g   + . . . + . 2 h n g )   + ( v 1 / g + v 2 / g + . . . + v n / g )

Passo 2

Além disso, vamos lembrar das conclusões que tivemos no problema anterior, sendo que:

h 1 = e ² h ,   h 2 = e ² h 1 ,   h 3 = e ² h 2 , . . .

e

v 1 ' = e v ' ,   v 2 ' = e v 1 ' ,   v 3 ' = e v 2 ' , . . .

Como v 1 = 2 g h ,   v 1 ' = e 2 g h ; v 2 ' =   e ² 2 g h ;   v 3 ' = e ³ 2 g h . . .

Assim, temos que:

Se v 1 ' = e 2 g h , h 1 = e ² h

Se v 2 ' = e ² 2 g h , h 2 = e 4 h

Se v 3 ' = e ³ 2 g h , h 3 = e 6 h …

Substituindo estes valores na equação do tempo que encontramos anteriormente, teremos que:

t = 2 h / g * [ 1 + 2 ( e + e ² + e ³ + . . . e n ) ]

Se observarmos, temos uma progressão geométrica de razão e. Assim, simplificando, temos:

t = 2 h / g * ( 1 + e ) / ( 1 - e )

Pronto! Provamos o desejado.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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