Enunciado

Depois de uma queda, um alpinista de 95   k g está pendurado na extremidade de uma corda originalmente com 15   m de comprimento e 9,6   m m de diâmetro, que foi esticada de 2,8   c m . Determine (a) a tensão, (b) a deformação e (c) o módulo de Young da corda

Passo 1

Show de bolinhas pessoal, vamos ver se entendemos a situação. Temos uma alpinista de 95   kg pendurado em uma corda que tem diâmetro D = 9,6   mm = 0,0096   m .

O peso do alpinista faz a corda se esticar: ela tinha 15   m de comprimento, e aumenta em 2,8   cm , ou seja, passa a ter um comprimento:

L = 15 + 0,028

L = 15,028   m

O item (a) pede para calcularmos a tensão. Vamos lembrar a fórmula nesse caso:

T = F A

F vai ser a força aplicada pelo alpinista (no caso o peso dele), e F é a área sobre a qual a força é aplicada. Veja a imagem para garantir que entendeu (pense na corda como um cilindro):

Assim, a fórmula para a área será a do círculo: A = π r 2 , e a fórmula para a força será a do peso F = m g , sendo assim, vamos obter que:

T = F A

T = m g π r 2

Subsituindo os valores que descobrimos, teremos que

T = 95 9,8 3,14 0,0096 2 2

T = 95 9,8 3,14 0,0048 2

T = 1,3 × 10 7   N/ m 2

Passo 2

A letra (b) quer apenas a deformação. Às vezes aparecem definições diferentes, mas esse livro chama de deformação a “variação relativa do comprimento”. Isso quer dizer que é essa razão aqui:

Δ L L = 0,028 15

Δ L L = 1,87 × 10 - 3

Δ L L ≈ 1,9 × 10 - 3

É “quanto o comprimento mudou” dividido por “quanto o comprimento era”. Não tem unidade de medida mesmo, porque estamos dividindo “metro por metro”.

Passo 3

A letra (c) quer o “Módulo de Young” da corda. O módulo de Young ( E ) é só uma forma de medir a resistência de um material, e a fórmula pra calcular ele é essa aqui:

E = T ( Δ L / L )

É a tensão dividia pela deformação, que são exatamente as duas coisas que acabamos de calcular, agora é só dividir uma pela outra. No nosso caso, teremos que:

E = 1,3 × 10 7 1,9 × 10 - 3

E = 6,9 × 10 9   N/ m 2

Resposta

(a) 1,3 × 10 7   N/ m 2

(b) 1,9 × 10 - 3  

(c) 6,9 × 10 9   N/ m 2

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