Enunciado

A Fig. 12-90 mostra um cilindro horizontal de 300 kg sustentado por três fios de aço presos em um teto. Os fios 1 e 3 estão nas extremidades do cilindro e o fio 2 está no centro. Os fios têm uma seção reta de 2,00 × 10 - 6 m 2 . Inicialmente (antes de o cilindro ser pendurado), os fios 1 e 3 tinham 2,0000 m de comprimento e o fio 2 era 6,00 mm mais comprimido que os outros dois. Agora (com o cilindro no lugar), os três fios estão esticados. Qual é a tensão (a) no fio 1 e (b) no fio 2?

Passo 1

Show de bolinhas pessoal, primeira coisa que a gente percebe é uma simetria no problema. Os fios 1 e 3 apresentam a mesma tensão. Além disso, a gente precisa também da equação da deformação linear elástica, que é dada pra gente como:

Δ L = F L A E

Onde E é o módulo de elasticidade do material. Como nesse caso é o aço, a gente tem:

E = 210 × 10 9 N / m 2

Beleza. Próxima coisa que a gente precisa lembrar é que a deformação dos materiais será diferente, mas no final a barra toda ficará na horizontal. Como o fio 2 já começa maior, os fios 1 e 3 terão que se deformar mais que o fio 2 em 6,00   mm . Vamos chamar as tensões nos fios 1, 2 e 3 de F 1 , F 2 e F 3 .

Passo 2

Dito isso, já podemos escrever as equações de deformação linear elástica, tais que:

F 1 = F 3

F 1 = F 2 + 6,00   mm A E L

Além dessas duas, a gente pode escreve a equação resultante do balanço de forças na direção vertical. Saca só:

F 1 + F 2 + F 3 - m g = 0

Logo:

F 2 + 6,00   mm A E L + F 2 + F 2 + 6,00   mm A E L - m g = 0

Isolando F 2 , obtemos que:

3 F 2 + 2 6 , 00   mm A E L = m g

3 F 2 = m g - 2 6,00   mm A E L

F 2 = m g - 2 6,00   mm A E L 3

Então substituindo os valore que o enunciado nos dá, obtemos que:

F 2 = 180   N

E como temos que:

F 1 = F 2 + 6,00   mm A E L

Então:

F 1 = 180 + 1380

F 1 = 1380   N

Resposta

(a) F 1 = 1380 N

(b) F 2 = 180 N

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