Enunciado

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Um raio luminoso parte do ponto A e chega ao ponto B depois de ser refletido no ponto O, situado na superfície de um espelho. Mostre, sem usar os métodos do cálculo, que a distância AOB é mínima quando o ângulo de incidência θ é igual ao ângulo de reflexão ϕ . (Sugestão: Considere a imagem de A no espelho.)

Passo 1

E aí meus caros(as)! A nossa missão agora é solucionar a questão 114!

Bem! E o que a gente tem aqui é um exerciciozinho sobre raios refletindo em espelhos!

Portanto, pra entender melhor o que tá acontecendo, vamo fazer um esboço da trajetória desse raio aí que saiu de A e chegou em B e da trajetória do raio que formou a imagem no espelho... O chamado ‘‘ Diagrama de raios’’!

Da figura acima, a gente tira a seguinte relação...

θ + γ = ϕ + γ = 90 °

Isso é a mesma coisa que dizer que...

θ + γ = ϕ + γ

θ = ϕ

Ou seja, o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão!

Passo 2

Para mostrar que A O B é a distância mínima, vamos considerar um raio incidente A O ' com um raio refletido O ' B , tais que o ângulo de incidência não é igual ao ângulo de reflexão.

Logo, de acordo com a figura temos que...

A O ' B = A O ' + O ' B

Ou também podemos escrever isso aí em cima como...

A O ' B = A O ' + O ' B = A ' O ' + O ' B

Onde, pela desigualdade triangular...

A O ' + O ' B = A ' O ' + O ' B > A ' B

E A ' B pode também ser reescrito como...

A ' B = A ' O + O B = A O + O B = A O B

Logo, temos que...

A O ' B = A O ' + O ' B = A ' O ' + O ' B > A ' B = A ' O + O B = A O + O B = A O B

Onde a desigualdade acaba vindo do fato de que a soma dos comprimentos de dois lados de um triângulo é sempre maior que o comprimento do terceiro lado

Resposta

A O ' B > A ' B = A O B

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