Enunciado

Um raio γ pode produzir um par elétron-pósitron na vizinhança de um elétron em repouso, da mesma maneira que na vizinhança de um núcleo. Mostre que nesse caso a energia mínima é 4 m 0 c 2 . (Sugestão: não despreze o recuo do elétron original, mas suponha que as três partículas se afastam juntas. use o sistema de referencial do centro de massa.)

Passo 1

E aí, beleza?? Nessa questão vamos descobrir a energia mínima E do fóton para que o processo ocorra na presença do elétron. Para isso, vamos utilizar o invariante relativístico:

I = E 2 - p → 2 c 2 = c t e

Assim, vamos ao trabalho!

Passo 2

Primeiramente, antes da colisão, temos que a energia total corresponde à soma da energia do fóton com a energia de repouso do elétron, enquanto o momento total será o momento do fóton, dado pela relação E = p c . Assim, sendo E a energia do fóton, temos:

I = E + m 0 c 2 2 - E 2

Passo 3

Agora, após a colisão, no referencial do centro de massa das três partículas, o momento total é nulo. Assim, vem:

I = 3 m 0 c 2 + K 1 + K 2 + K 3 2

Onde K 1 , K 2 e K 3 são as energias cinéticas das partículas. Como as energias cinéticas são sempre maiores ou iguais a zero, temos:

I ≤ 3 m 0 c 2 2 → I ≤ 9 m 0 2 c 4

Passo 4

Assim, temos:

E + m 0 c 2 2 - E 2 ≤ 9 m 0 2 c 4

Abrindo as contas, chegamos em:

2 E m 0 c 2 + m 0 2 c 4 ≤ 9 m 0 2 c 4

Portanto:

E ≤ 4 m 0 c 2

Ou seja, a energia mínima E m i n é dada por:

E m i n = 4 m 0 c 2

Como queríamos demonstrar!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro