Enunciado

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Mostre que o comprimento de atenuação Λ é igual à distância média que um fóton vai percorrer antes de ser absorvido ou espalhado.

Passo 1

E aí, beleza? Para resolver esse problema, vamos primeiramente calcular a densidade de probabilidade de um fóton ser encontrado entre x e x + d x . Assim, é justo assumirmos que essa probabilidade é proporcional ao número de fóton I ( x ) , na posição x . Desse modo, temos:

p x ∝ I x → d P = p x d x = A e - σ ρ d x

Note que d P é a probabilidade de a partícula estar entre x e x + d x .

Passo 2

Normalizando a função probabilidade, assumindo que x varia de 0 até (na verdade a espessura é até pequena, mas como o decaimento exponencial ocorre muito rapidamente em I ( x ) , é razoável assumir quem em t , I ( x ) vai a zero, o que é equivalente a assumir que a integral vai até o infinito), temos:

A ∫ 0 ∞ e - σ ρ x d x = 1 → A Λ = 1 ∴ A = 1 Λ

Com isso:

p x = 1 Λ e - x Λ

Lembrando que Λ = 1 σ ρ .

Passo 3

Assim, a distância média percorrida por um fóton é dada por:

x = 1 Λ ∫ 0 ∞ x e - x Λ d x

Podemos reescrever a integral em termos de y = x Λ :

d x = Λ d y     ;     x = Λ y

Logo:

x = Λ ∫ 0 ∞ y e - y d y

Portanto, basta que calculemos a integral I dada por:

I = ∫ 0 ∞ y e - y d y

Passo 4

Por partes, chegamos em:

I = - y e - y 0 ∞ ⏝ 0 + ∫ 0 ∞ e - y d y

Portanto:

I = - e - y ​ 0 ∞ = 1

Logo, a distância média percorrida pelo fóton é:

x = Λ

Como queríamos provar!

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