Enunciado

A rapidez de um avião voando em ar parado é de 250 km/h. Um vento sopra a 80km/h no sentido que aponta 60° a leste do norte. (a) Em qual sentido o avião deve apontar para viajar para o norte em relação ao solo? (b) Qual é a rapidez do avião em relação ao solo?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão. O avião se move no ar, e o ar também está em movimento em relação ao solo. Como temos um objeto que se move sobre outro que se move, a gente tem uma questão de velocidade relativa.

A ideia é que o avião tem sua velocidade relativa ao vento (ao ar) de v A V = 250 k m / h . E que o vento se move a v V S = 80 k m / h em relação ao solo. Aí para saber o vetor velocidade do avião em relação ao solo a gente precisa fazer a soma vetorial dessas duas velocidades:

v → A S = v → A V + v → V S

A partir dessa expressão a gente descobre a orientação de v → A V como ele pede no item (a) e o módulo de v → A S como ele pede no item (b).

Vamos lá analisar cada item!

Passo 2

a) Queremos saber a orientação da velocidade do avião em relação ao vento. Para achar orientações em velocidade relativa é bom desenhar a soma vetorial que a gente escreveu no passo 1.

A figura abaixo representa um esboço dos vetores atuantes na situação. v V S é a velocidade do vento em relação ao solo, v A S é a velocidade do avião em relação ao solo e v A V é a velocidade do avião em relação ao vento.

O ângulo θ indica a direção que o avião deve seguir para que a resultante seja somente em direção ao norte.

Ali temos o ângulo de 30 ° no sentido de leste para norte que dá a orientação de v V S . Ele é igual a orientação de 60 ° no sentido a leste do norte (de norte para leste) que o enuciado descrever.

Passo 3

Percebe que temos dois triângulos retângulos na figura que compartilham esse segmento tracejado. Podemos então escrever o comprimento d dele a partir de duas perspecitivas e igualar as expressões.

Para o triângulo de cima, temos:

cos ⁡ 30 ° = d v V S → d = v V S cos ⁡ 30 °

Para o segundo triângulo:

s e n   θ = d v A V → d = v A V   s e n   θ

Igualando essas duas expressões:

v V S ⋅ cos ⁡ 30 ° = v A V ⋅ sin ⁡ θ

Como queremos θ , vamos isolar esse cara:

θ = sin - 1 ⁡ v V S ⋅ cos ⁡ 30 ° v A V

θ = sin - 1 ⁡ 80 ⋅ cos ⁡ 30 ° 250

θ = 16,1 °

Esse ângulo está de norte para oeste (a oeste do norte).

Passo 4

b) A rapidez do avião em relação ao solo é o módulo da velocidade do avião em relação ao solo, ou seja, do vetor vermelho na nossa figura:

Então basicamente a gente precisa achar o comprimento dele. Por isso, vamos achar d 1 e d 2 e somar.

Olhando para o triângulo retângulo de cima, vamos ter:

s e n   30 ° = d 1 v V S → d 1 = v V S   s e n   30 °

E o triângulo de baixo nos dá:

cos ⁡ θ = d 2 v A V → d 2 = v A V cos ⁡ θ

Somando essas duas distâncias, vamos achar:

v → A S = d 1 + d 2

v → A S = v V S   s e n   30 ° + v A V cos ⁡ θ

Substituindo os dados:

v → A S = 80 ⋅ sin ⁡ 30 ° + 250 ⋅ cos ⁡ 16,1 °

v → A S = 280   k m / h

Resposta

a ) θ = 16,1 °   (a oeste do norte)

b ) v → A S = 280   k m / h

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