Enunciado

Um recipiente cilindrico contendo um liquido incompressivel de densidade ρ gira com velocidade angular ω constante em torno de seu eixo de simetria, o qual tomaremos como o eixo O y (Figura 14.41). a) Mostre que a pressão a uma dada altura no interior do líquido cresce com a distancia radial r (para fora do eixo de rotação) de acordo com ∂ p / ∂ r = ρ ω 2 r . b) Integre essa equação diferencial parcial para achar a pressão em função da distancia ao eixo de rotação ao longo de uma linha horizontal para y=0. c) Combine a respsta da paerte (b) com a Equação (14,5) para mostrar que a superficie do liquido que gira possui uma forma parabolica, ou seja, a altura do liquido é dada por h r = ω 2 r 2 / 2 g . (Essa técnica é usada para fabricar espelhos parabolicos para telescopios ; o vidro liquido gira e depois é solidificado enquanto está girando.)

Passo 1

Aplicando ∑ F → = m a →   a um pequeno elemento fluido localizado a uma distância r do eixo.

Para movimento rotacional:

a = ω 2 r

Passo 2

  1. A mudança de pressão em relação à distância vertical fornece a força necessária para manter um elemento fluido em equilíbrio vertical (opondo-se ao peso). Para o fluido rotativo, a mudança de pressão com o raio fornece a força necessária para manter um elemento fluido acelerando em direção ao eixo; especificamente,
  2. d p = ∂ p ∂ r d r = ρ a   d r

    E usando

    a = ω 2 r

    Temos que

    ∂ p ∂ r = ρ ω 2 r

    Passo 3

  3. Seja a pressão em y = 0 , r = 0 a p a (pressão atmosférica); integrando a expressão para ∂ p ∂ r da parte a), temos

p r , y = 0 = p a + ρ ω 2 2 r 2

Passo 3

Na equação p 2 - p 2 = - ρ g ( y 2 - y 1 ) ,

p 2 - p a

p = p 1 = p ( r , y = 0 )

conforme encontrado na parte (b), y 1 = 0 e y 2 = h r , a altura do líquido acima do plano y = 0 . Usando o resultado da parte (b) obtém-se

h ( r ) = ω 2 r 2 / 2 g

A curvatura da superfície aumenta à medida que a velocidade de rotação aumenta.

Resposta

  1. ∂ p ∂ r = ρ ω 2 r como mostrado;
  2. p r , y = 0 = p a + ρ ω 2 2 r 2
  3. h ( r ) = ω 2 r 2 / 2 g
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