Enunciado

Repita a dedução vista na Seç. 2.6 para um espelho esférico convexo, mostrando que se obtém a mesma relação distância-imagem (2.18), mas com R < 0 , Mostre que a expressão (2.21) do aumento lateral também permanece válida nesse caso.

Passo 1

Opa! Vamos lá. Fiz um desenho análogo, mas considerando um espelho convexo. Olha aqui:

Marquei alguns pontos e ângulos que vamos precisar também.

Usamos a lei de reflexão e ângulos opostos pelo vértice, ok?

Vamos usar a lei dos senos no triangulo P D C :

R sen ⁡ θ = P + R sen ⁡ α + θ 1

Pela imagem vemos que

α + θ 1 + θ 1 = 180 °

Então

α = 180 ° - 2 θ 1

Então

R sen ⁡ θ = P + R sen ⁡ α + θ 1

R sen ⁡ θ = P + R sen ⁡ 180 ° - 2 θ 1 + θ 1

R sen ⁡ θ = P + R sen ⁡ 180 ° - θ 1

Pela regra da soma de arcos, sen ⁡ 180 ° - θ 1 = sen ⁡ θ 1 .

R sen ⁡ θ = P + R sen ⁡ θ 1

Ok. Guarda essa aí. Vamos fazer a mesma coisa para o triangulo C D Q .

R - q sen ⁡ θ 1 = R sen ⁡ ϕ

Mas

ϕ + β = 180 °

So que, para o triangulo   P Q D a soma dos ângulos internos é

β + θ + α = 180 °

Então

β = 180 ° - θ - α

Ma já vimos que

α = 180 ° - 2 θ 1

Então

β = 180 ° - θ - α

β = 180 ° - θ - 180 ° + 2 θ 1

β = - θ + 2 θ 1

Então

ϕ + β = 180 °

ϕ - θ + 2 θ 1 = 180 °

ϕ = + θ - 2 θ 1 + 180 °

Então a lei dos senos fica:

R - q sen ⁡ θ 1 = R sen ⁡ ϕ

R - q sen ⁡ θ 1 = R sen ⁡ + θ - 2 θ 1 + 180 °

Usando a soma de arcos:

sen ⁡ + θ - 2 θ 1 + 180 ° = sen ⁡ 2 θ 1 - θ

Assim

R - q sen ⁡ θ 1 = R sen ⁡ 2 θ 1 - θ

Show!

Passo 2

Vamos recapitular o que achamos:

R sen ⁡ θ = P + R sen ⁡ θ 1

e

R - q sen ⁡ θ 1 = R sen ⁡ 2 θ 1 - θ

Daí, temos:

P + R R = sen ⁡ θ 1 sen ⁡ θ

Usando a aproximação paraaxial, temos que sen ⁡ x ≈ x .

P + R R ≈ θ 1 θ

E

R - q R ≈ θ 1 2 θ 1 - θ

Podemos escrever isso dessa forma:

R - q R ≈ θ 1 θ 2 θ 1 θ - 1

Eaí,podemos substituir o que encontramos:

R - q R ≈ P + R R 2 P + R R - 1

Vamos trabalhar com a igualdade, pois é assim que o livro fez para um espelho côncavo,ok?

R - q R = P + R R 2 P + R R - 1

Arrumando isso:

R - q R 2 P + R R - 1 = P + R R

1 - q R 2 1 + P R - 1 = 1 + P R

1 + 2 P R - q R - 2 P q R 2 = 1 + P R

P R - q R = 2 P q R 2           × - R P q

- 1 q + 1 P = - 2 R          

Mas, q < 0   e R < 0 ,então

1 - q + 1 P = 2 - R          

Com q < 0 e R < 0 .

Assim

1 q + 1 P = 2 R          

Como f = R / 2

1 q + 1 P = 1 f          

Prontinho!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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