Enunciado

Repita o problema 127 com o bloco acelerando para cima em um plano inclinado de 5,0 ° .

Problema 127: Um bloco de 15   k g sofre uma aceleração de 2,0   m / s 2 em uma superfície horizontal sem atrito que faz sua velocidade aumentar de 10   m / s para 30   m / s . Quais são (a) a variação da energia mecânica do bloco e (b) a taxa média com a qual a energia é transferida para o bloco? Qual é a taxa instantânea dessa transferência quando a velocidade do bloco é de (c) 10   m / s e (d) 30   m / s .

Passo 1

Conforme o bloco acelera para cima do plano, vão acontecer duas coisas: ele vai ganhar energia cinética (porque sua velocidade está aumentando), e ele vai ganhar energia potencial gravitacional (porque ele está subindo).

Δ E = Δ K + Δ U

Quando a velocidade vai de 10   m / s para 30   m / s , o ganho de energia cinética é o seguinte:

Δ K = 1 2 m v 2 2 - v 1 2

Δ K = 1 2 15 30 2 - 10 2 = 6   000   J

Passo 2

E para calcular o ganho de energia potencial gravitacional, precisamos calcular a altura pela qual o bloco se desloca nesse intervalo:

E para calcular Δ x , podemos usar a seguinte fórmula:

v 2 = v 0 2 + 2 a Δ x

30 2 = 10 2 + 2 2,0 Δ x

Δ x = 200   m

E então a altura é:

h = 200 sen ⁡ 5 ° = 17,4   m

E então o ganho de energia potencial foi:

Δ U = m g h

Δ U = 15 9,80 17,4 = 2558   J

Então a variação de energia mecânica foi:

Δ E = 2558 + 6000

Δ E = 8,6   .   10 3   J

Passo 3

(b) Para calcular a taxa média com a qual a energia é transferida para o bloco, temos que calcular quanto tempo passou entre esses dois instantes:

v = v 0 + a t

30 = 10 + 2 t

t = 10   s

Então:

P = Δ E t = 8,6.10 3 10 = 8,6   .   10 2   W

Passo 4

(c) A taxa instantânea de variação da energia segue essa fórmula aqui:

P = F → ∙ v →

No nosso problema, a força e a velocidade têm a mesma direção, então esse produto escalar pode ser reescrito da seguinte forma:

P = F v

Para calcular o módulo da força vamos usar a segunda lei de Newton:

∑ F = m a

Nesse caso, temos apenas a força F empurrando o bloco para cima e a componente P x do peso puxando para baixo, então:

F - m g sen ⁡ θ = m a

F = m a + g sen ⁡ θ

F = 15 2,0 + 9,8 sen ⁡ 5 ° = 43   N

Então, quando a velocidade do bloco é v = 10   m / s , a taxa instantânea de transferência de energia é:

P 10 = 43 10 = 430   W

Passo 5

(d) Quando a velocidade vale v = 30   m / s essa mesma taxa é:

P 30 = 43 30 = 1290   W

Resposta

(a) A variação de energia mecânica é 8,6   .   10 3   J .

(b) A taxa média com a qual a energia é transferida para o bloco é 8,6   .   10 2   W .

(c) A taxa instantânea dessa transferência é 430   W quando v = 10   m / s .

(d) A taxa instantânea dessa transferência é 1290   W quando v = 30   m / s .

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