Enunciado

Resistir a tensão. Um fio ou corda se romperá se for submetido a muita tensão (Equação 11.8). Cordas mais grossas podem resistir a uma tensão maior sem se romper porque quanto mais gorssa a corda, maior é a área transversal e menor a tensão. Um tipo de aço possui densidade igual a 7,8 ⋅ 10 3   k g / m 3 e uma tensão de ruptura igual a 7,0 ⋅ 10 8   N / m 2 . Você deseja fabricar uma corda de guitarra usando 4,0   g   deste aço. A corda da guitarra deve poder resistir a uma tensão de 900   N sem se romper. A sua tarefa é:

a) Determine o comprimento máximo e o raio mínimo que a corda pode ter.

b) Determine a frequência fundamental mais alta possível das ondas estacionárias na corda, se toda a extensão da corda estiver livre para vibrar.

Passo 1

Antes de começar a resolver vamos ver quais equações iremos precisar.

A tensão de ruptura pode ser escrita da seguinte forma:

F R = F / π r 2

A densidade volumétrica é dada por:

ρ = m / V

A frequência do primeiro harmônico é dada por:

f 1 = v 2 L

Onde:

v = F / μ  

Passo 2

a) Neste caso temos que F = 900   N e F R = 7,0 ⋅ 10 8   N / m 2 , sendo assim já conseguimos calcular quanto vale o raio mínimo que a corda pode ter.

r = F π F R = 900   N π   7,0 ⋅ 10 8   N / m 2 = 6,4 ⋅ 10 - 4   m

Aqui já temos o raio mínimo pois estamos considerando o raio da tensão de ruptura, ou seja, já está na eminencia da corda estourar logo se fosse maior não poderíamos estar considerando essa tensão de ruptura e se fosse menor a corda já teria estourado.

Agora o comprimento máximo podemos encontra a partir da densidade volumétrica da corda:

ρ = m V = m π r 2 L

Isolando L :

L = m π r 2 ρ

Assim o raio mínimo fornece o comprimento máximo. Então agora podemos substituir os valores:

L = 4 ⋅ 10 - 3 k g π 6,4 ⋅ 10 - 4 m 2 7800 k g / m 3 = 0,40   m

Passo 3

b) A frequência fundamental será:

f 1 = v 2 L = 1 2 L F μ = 1 2 L F L m = 1 2 F m L

Calculando a massa da corda:

m = ρ π r 2 L = 4,0 ⋅ 10 - 3 k g

Assim a frequência será:

f 1 = 1 2 900   N 4,0 ⋅ 10 - 3 k g 0,40 m = 376   H z

Resposta

a) r = 6,4 ⋅ 10 - 4   m e L = 0,40   m

b) f 1 = 376   H z

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