Enunciado

Uma rocha de 76,0   k g rola horizontalmente pelo topo de um rochedo vertical, que está 20   m acima da superfície de um lago, conforme a Figura 3.52 . O topo da face vertical de uma barragem localiza-se a 100   m do pé do rochedo, sendo que o topo da barragem está no mesmo nível da superfície do lago. Uma planície nivelada está 25   m abaixo do topo da barragem.

a) Qual deve ser a velocidade mínima da rocha ao cair do rochedo, de modo que role para a planície, sem atingir a represa?

b) A que distância da base da represa a rocha atinge a planície?

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom?

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. Temos uma rocha que vai sair do rochedo com apenas velocidade horizontal v 0 . Então, o enunciado quer saber o valor mínimo dessa velocidade para a rocha não encostar e ficar na parede da barragem, mas sim cair direto na planície. Um esqueminha:

Vamos assumir que o eixo vertical seja positivo apontando para baixo. As condições iniciais do problema são:

v 0 x = v 0

v 0 y = 0

a x = 0

a y = 9,8 m / s

Certo?

Passo 2

  1. Agora vamos usar as equações do movimento vertical para determinar o instante que a pedra chega no nível do lago em y = - 20 , após sair de y 0 = - 45 (lembrando que o eixo y está para baixo, por isso as coordenadas negativas).
  2. y - y 0 = v 0 y t + a y t 2 2

    Substituindo os valores:

    - 20 - - 45 = 0 + 9,8 t 2 2

    25 = 9,8 t 2 2

    t = 50 9,8 = 2,26 s

    Assim a pedra deve viajar horizontalmente uma distância de 100 m durante 2,26 s para não cair antes da parede fina da barragem. A velocidade horizontal vai ser:

    v 0 = 100 2,26 = 44,2 m / s

    Show?

    Passo 3

  3. Agora queremos saber a que distância a pedra atinge. Aqui a ideia é usar as equações de movimento na vertical para achar o tempo de voo total, para depois com a equação para o movimento na horizontal, achar o deslocamento da pedra. Vamos lá?

Ela deve viajar, ao todo, 45 m do topo do rochedo até a planície. Usando a equação de movimento que usamos no item anterior:

y - y 0 = v 0 y t + a y t 2 2

45 = 9,8 t 2 2

t = 90 9,8 = 3,02 s

Vemos que a pedra levou 3,02 s para atingir o solo, e mais 1 s para chegar na planície.

Agora usando a equação do horizontal teremos a distância da barragem até o ponto onde a rocha chega no solo, e admitindo que a origem é a barragem e, portanto a posição inicial da pedra era - 100 m :

x = x 0 + v x t = 44,2   .   3,03

x = - 100 + 134 = 34

Assim a pedra cai a uma posição x = 34 m depois da barragem.

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

a ) 44,2 m / s

b ) 34 m

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