Enunciado

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Uma roda de raio R rola ao longo de um plano horizontal. Prove que, em cada instante, a velocidade de cada ponto é perpendicular à reta que une o ponto com o ponto ele contato ela roda com o plano. Se p é a distância entre esses pontos, prove que o módulo da velocidade elo ponto móvel é wp. O que se pode concluir desses resultados?

Passo 1

Opaaa tudo bem?

Vamos lá para mais um problema bem legal ein!

Passo 2

Vou fazer um desenho esquemático pra ficar mais fácil de a gente observar, beleza?

Passo 3

A velocidade resultante é a soma da velocidade das duas direções, x e y

v → = v → x + v → y

Como visto na questão anterior, as velocidades nas direções podem ser definidas como

v → x = R ω 1 - cos ⁡ ω t

v → y = R ω sin ⁡ ω t

Então, temos que a velocidade é dada por

v → = R ω 1 - cos ⁡ ω t v → x + R ω sin ⁡ ω t v → y

Passo 4

A distância entre os pontos p → é definida como

p → = x - R ω t v → x + y v → y → p → = - R sin ⁡ ω t v → x + R 1 - cos ⁡ ω t v → y

Passo 5

Quando dois vetores são perpendiculares, o produto vetorial entre eles é igual à zero. Então podemos fazer o produto vetorial entre o vetor distância entre os pontos e o vetor velocidade

v → ⋅ p → = R 2 ω sin ⁡ ω t c o s ω t - 1 + R 2 ω sin ⁡ ω t 1 - cos ⁡ ω t

→ v → ⋅ p → = 0

Então, como o produto vetorial entre os vetores é igual à zero, os vetores são perpendiculares.

v → ⊥ p →

Passo 6

O módulo de um dado vetor u → é dado por

u → = u → x 2 + u → y 2

Então, para o módulo do vetor velocidade v → temos

v → = v → x 2 + v → y 2 = R ω 1 - cos ⁡ ω t 2 + R ω sin ⁡ ω t 2

→ v → = R ω 1 - 2 cos ⁡ ω t + cos 2 ⁡ ω t + sin 2 ⁡ ω t

Uma propriedade de ciclo trigonométrico importante é dada por

cos 2 ⁡ ω t + sin 2 ⁡ ω t = 1

E podemos aplicar essa propriedade na equação do módulo de velocidade

v → = R ω 1 - 2 cos ⁡ ω t + cos 2 ⁡ ω t + sin 2 ⁡ ω t → v → = R ω 2 1 - cos ⁡ ω t

Passo 7

Também podemos obter o módulo do vetor distância dos pontos ( p → )

p → = p → x + p → y = R 2 sin 2 ⁡ ω t + R 2 1 - cos ⁡ ω t 2 → p → = R 2 1 - cos ⁡ ω t

Passo 8

Das duas equações obtidas, podemos concluir que

v → = ω p →

Passo 9

Podemos observar algumas coisas importantes desse problema

  • A velocidade é máxima quando p = R
  • A velocidade é zero quando p está na horizontal
  • A velocidade sempre está apontando ao ponto de altura máxima (para que o ângulo sem inserido, será sempre reto)
  • A aceleração está em direção ao centro

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