Quais são a energia, momento e comprimento de onda de um fóton emitido por um átomo de hidrogênio ao fazer uma transição direta de um estado excitado com n = 10 para o estado fundamental? Obtenha a velocidade recuo do átomo de hidrogênio neste processo.

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

A energia, em e V , do n -ésimo estado do átomo de hidrogênio é dada por

E n = - 13,6 n 2   e V

No estado fundamental, temos

E 1 = - 13,6   e V

Já no estado com n = 10 :

E 10 = - 13,6 10 2   e V = - 0,136   e V

Quando o elétron salta do estado n = 10 para o estado fundamental, um fóton é emitido com energia

E = E 10 - E 1 = - 0,136   e V + 13,6   e V

Assim, a energia do fóton é

E = 13,464   e V

Passo 2

Como o fóton tem massa nula, seu momento é dado por

p = E c → p = 13,464   e V / c

Assim, o comprimento de onda de de Broglie é

λ = h p = h c p c

Usando h c = 1240   e V   n m , temos

λ = 1240   e V   n m 13,464   e V → λ = 9,2 ⋅ 10 - 8   m

Passo 3

Para calcular a velocidade de recuo do átomo, usamos a conservação do momento supondo que o átomo estava em repouso antes da emissão do fóton:

0 → = p → a t o m o + p → f o t o n

Assim,

p → a t o m o = - p → f o t o n

O sinal negativo indica que o momento do átomo aponta no sentido contrário do fóton. Considerando apenas o módulo, temos

p a t o m o = p f o t o n = 13,464   e V / c

Vamos converter isso para o SI:

p a t o m o = 13,464 ⋅ 1,6 ⋅ 10 - 19 3 ⋅ 10 8   k g   m / s

Assim,

p a t o m o = 7,2 ⋅ 10 - 27   k g   m / s

Por outro lado,

p a t o m o = M v → v = p a t o m o M

Considerando M ≈ m p = 1,67 ⋅ 10 - 27   k g , temos

v ≈ 7,2 ⋅ 10 - 27 1,67 ⋅ 10 - 27 → v ≈ 4,3   m / s

Resposta

E = 13,464   e V

p = 13,464   e V / c

λ = 9,2 ⋅ 10 - 8   m

v ≈ 4,3   m / s

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