Enunciado

O sistema representado na figura está em equilíbrio. Desprezando as massas dos fios e das polias P 1   e   P 2 , calcule os ângulos θ 1   e   θ 2 .

Passo 1

Vamos lá começando com nosso diagrama para entender melhor o problema

Para que o sistema esteja em equilíbrio primeiramente P 1 = T 1   e   P 2 = T 2 . Dito isso, ainda as componentes verticais de T 1   e   T 2 têm que compensar o peso 3 e as horizontais também se cancelam pra não ter nenhum deslocamento pro lado, show? Bora lá fazer umas continhas legais!

Passo 2

Nossas equações ficam assim

T 1 = P 1 = 1,5 g

T 2 = P 2 = 2 g

Além disso, temos:

Com isso, temos que trabalhar em cima das componentes das trações também! Como falei anteriormente. Sendo:

T 1 x = T 1 c o s ⁡ ( θ 1 )

T 1 y = T 1 s e n ⁡ ( θ 1 )

T 2 x = T 2 c o s ⁡ ( θ 2 )

T 2 y = T 2 s e n ⁡ ( θ 2 )

No eixo y:

2,5   g = T 1 s e n θ 1 + T 2 s e n θ 2

E no eixo x:

T 1 c o s θ 1 = T 2 c o s θ 2

Substituindo agora as trações, com os valores que achamos ali em cima, na terceira e quarta equação fica assim ó

2,5   g = 1,5 g s e n θ 1 + 2 g s e n θ 2

1,5 g c o s θ 1 = 2 g c o s θ 2

Só cortando a gravidade pra ficar bom de visualizar,

2,5 = 1,5 s e n θ 1 + 2 s e n θ 2

1,5 c o s θ 1 = 2 c o s θ 2

Passo 3

Para resolver esse sistema vamos trabalhar com s e n 2 x     e cos 2 ⁡ x , tranquilo? Então mexendo na equação e elevando ao quadrado todos os lados fica assim

2,5 - 1,5   s e n θ 1 2 = 2 2 s e n 2 θ 2

3 4 2 cos 2 ⁡ θ 1 = cos 2 ⁡ θ 2

Como s e n 2 θ 2 = 1 - cos 2 ⁡ θ 2 nós temos

2,5 - 1,5   s e n θ 1 2 = 4 1 - cos 2 ⁡ θ 2

Mas temos que 3 4 2 cos 2 ⁡ θ 1 = cos 2 ⁡ θ 2 :

2,5 - 1,5   s e n θ 1 2 = 4 1 - 3 4 2 cos 2 ⁡ θ 1

Como no lado esquerdo teremos uma equação com s e n θ 1 queremos que apareça o seno no lado direto também, então vamos usar a mesma relação praticamente

1 - s e n 2 θ 1 = cos 2 ⁡ θ 1

2,5 - 1,5   s e n θ 1 2 = 4 1 - 3 4 2 . ( 1 - s e n 2 θ 1 )

Vamos desenvolver o lado direito primeiro:

2,5 - 1,5   s e n θ 1 2 = 4 1 - 9 16 + 9 16 s e n 2 θ 1

2,5 - 1,5   s e n θ 1 2 = 4 7 16 + 9 16 s e n 2 θ 1

2,5 - 1,5   s e n θ 1 2 = 1,75 + 2,25   s e n 2 θ 1

Desenvolvendo o lado esquerdo agora:

6,25 - 7,5 s e n θ 1 + 2,25 s e n 2 θ 1 = 1,75 + 2,25   s e n 2 θ 1

4,5 = 7,5 s e n θ 1

s e n θ 1 = 4,5 7,5 = 0,6

θ 1 = a r c s e n   0,6 = 36,9 °

Passo 4

Já para θ 2 basta substituir de volta na equação dos cossenos que tínhamos lá em cima:

1,5 2 cos ⁡ 36,9 ° = c o s θ 2 = 0,6  

θ 2 = a r c o s 0,6 = 53,1 °

Prontinho!

Resposta

θ 1 = 36,9 °

θ 2 = 53,1 °

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