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No sistema solar, uma partícula está sujeita a influência combinada da atração gravitacional do Sol e da força da radiação solar. Suponha que a partícula é uma esfera com uma massa especifica de 1,0 ⋅ 10 3   k g / m 3 e que toda a luz incidente é absorvida. (a) Mostre que, se o raio da partícula for menor que um certo raio crítico R, a partícula será ejetada para fora do sistema solar. (b) Determine o valor do raio crítico.

Passo 1

Como a partícula está sob a influência da atração gravitacional teremos uma força dada por:

F g = G M m R 2

Sabemos também a massa específica da esfera que é:

ρ = m V = 1,0 ⋅ 10 3 k g / m 3

Passo 2

a) Para mostrar que se o raio da partícula for menor que um certo raio crítico a partícula será ejetada para fora, vamos considerar r o raio da esfera. Sabemos que o volume da esfera é V = 4 π r 3 3 , isolando m   na densidade e aplicando na força gravitacional temos:

F g = G M m R 2 = 4 π G M ρ r 3 3 R 2

Mas sabemos que a potência irradiada pelo Sol, pode ser calculada por:

p r = I c = P A c = P r 2 4 R 2 c

A radiação emitida irá passar por um circulo de raio r , perpendicular a direção de propagação, desta forma será absorvido pela partícula e o módulo da força de radiação exercido sobre essa partícula será:

F r = p r A = π P r 2 4 π R 2 c = P r 2 4 R 2 c

Desta forma teremos a força gravitacional que é proporcional a r 3 e a força da radiação que é proporcional a r 2 , desta forma é esperado que partículas grandes sejam atraídas para o Sol pela força gravitacional e partículas pequenas sejam mandadas para longe pela força de radiação.

Passo 3

b) O valor crítico sera aquele no qual as duas forças são iguais, fazendo:

F g = F r

4 π G M ρ r 3 3 R 2 = P r 2 4 R 2 c

Isolando r :

r = 3 P 16 π G M ρ c

Substituindo os valores:

r = 3 ( 3,9 ⋅ 10 26 ) 16 π 6,67 ⋅ 10 - 11 1,99 ⋅ 10 30 1 ⋅ 10 3 3 ⋅ 10 8 = 5,8 ⋅ 10 - 7 m

Resposta

b) r = 5,8 ⋅ 10 - 7 m

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