Enunciado

Uma superfície aberta é limitada por um triângulo com vértices em ( 0 ,   0 ,   0 ) , ( 2 ,   0 ,   0 ) , e ( 0 ,   2 ,   0 ) . Ela é composta de três superfícies triangulares cada uma tendo um ele seus lados coincidentes com os lados do triângulo e um vértice comum no ponto ( a ,   b ,   c ) . Mostre que o vetor que representa a superfície completa é independente de ( a ,   b ,   c ) . Esse resultado era esperado, como consequência do Problema 3.35?

Passo 1

E aí, beleza?? Vamos considerar a seguinte ilustração para o problema:

Assim, vamos calcular o vetor correspondente a cada superfície. Podemos relacionar os vetores da seguinte maneira:

S 1 → = A B → × A D →

S 2 → = B C → × B D →

S 3 → = C A → × C D →

Passo 2

Fazendo as contas, chegamos em:

S 1 → = a , b , c × 0,2 , 0

S 2 → = a , b - 2 , c × 2 , - 2,0

S 3 → = a - 2 , b , c × - 2,0 , 0

Logo:

S 1 → = - 2 c , 0,2 a

S 2 → = 2 c , 2 c , - 2 b - 2 a + 4

S 3 → = 0 , - 2 c , 2 b

Passo 3

Somando os três vetores, temos:

S → = S 1 → + S 2 → + S 3 →

S → = 0,0 , 4

Independendo do ponto D = a , b , c , como era de se esperar, pois, de acordo com o resultado demonstrado no exercício anterior, S → depende apenas da linha de contorno.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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