Enunciado

Determine a distância do ponto P 1 ( 4 ,   5 ,   - 7 ) à reta que passa por Q ( - 3 ,   6 ,   12 ) e paralela ao vetor V = u x   ( 4 )   -   u y ( 1 )   +   u z   ( 3 ) . Calcule também a distância do ponto P ao plano perpendicular a V e que passa por Q .

Passo 1

E aí, beleza?? Vamos começar calculando a distância do ponto à reta. Podemos pegar um ponto A genérico da reta, dado por:

A = Q + t   V

Assim, a distância é:

d 2 = P 1 - A 2 = P - Q - t V 2

Portanto:

d 2 = P 2 + Q 2 + t 2 V 2 - 2 P ∙ Q - 2 t   P ∙ V + 2 t   Q ∙ V

Ou, ainda:

d 2 = V 2 t 2 - 2 P - Q ∙ V   t + P 2 + Q 2

Perceba que essa é uma função do segundo grau em t . O valor máximo de d 2 é dado pela relação:

d 2 = - Δ 4 a = 4 V 2 P 2 + Q 2 - 4 P - Q ∙ V 2 4 V 2

Simplificando:

d 2 = P 2 + Q 2 - P - Q ∙ V 2 V 2

Substituindo os valores, chegamos em:

d 2 ≈ 248,8 ∴ d ≈ 1 5 , 8

Passo 2

O problema para o caso da distância do ponto ao plano é parecido, mas resolveremos de uma maneira diferente. Sejam W e U dois vetores linearmente independentes que são perpendiculares a V . Assim, um ponto sobre o plano citado é definido pela equação:

π ( s , t ) = Q + s U + t W

Com s e t pertencentes aos reais. Assim, o vetor distância do ponto P a um ponto B pertencente ao plano é:

d = P - B = P - Q - s U - t W

No caso em que a distância é mínima, ocorre que d é perpendicular ao plano, ou seja, podemos escrever:

d = α   V

Sendo α um número real a determinar. Assim, vem:

P - Q - s U - t W = α   V

Tomando o produto escalar com V , temos:

P - Q ∙ V - s U ∙ V - t W ∙ V = α V 2

Note que o produto escalar de V com U e com W são nulos, pois são perpendiculares. Assim:

α = P - Q ∙ V V 2

Com isso, determinamos a distância do ponto ao plano:

d = | P - Q ∙ V | | V |

Substituindo os valores:

d = 5,49

Resposta

(a)

d = 15,8

(b)

d = 5,49

Ver Outros Exercícios desse livro