Enunciado

A superfície gaussiana em forma de paralelepípedo da Fig. 23-34 envolve uma carga de + 24,0ε0 C e está imersa em um campo elétrico dado por Ê = 10,0 + 2,00 x î - 3,00 ĵ + b z k ^ N / C , com x e z em metros e b constante. A face inferior está no plano xz; a face superior está no plano horizontal que passa pelo ponto y2= 1,00 m. Qual é o valor de b para x1 = 1,00 m, x2 = 4,00 m, z1 = 1,00 m, z2 = 3,00 m?

Passo 1

Para achar o valor de b, podemos calcular o fluxo total do campo elétrico, através da superfície dada pela figura. Temos a formula integral para o fluxo elétrico:

Φ = ∮ E → ⋅ d a →

Para calcular essa integral vamos separar pelas faces do paralelepípedo.

Passo 2

Para as faces onde o fluxo é paralelo ao plano xy, ou seja, a face superior e a inferior, temos:

Φ x y = ∬ E z z 2 - E z z 1 d x d y

Lembrando que como d a → é normal a superfície, o produto E → ⋅ d a → de uma superfície que está no plano xy é na direção z.

Φ x y = ∬ 3 b - b d x d y = 2 b ∫ 1 4 d x ∫ 0 1 d y

Φ x y = 2 b 4 - 1 1 - 0 = 6 b

Agora para o plano xz:

Φ x z = ∬ E y y 2 - E y y 1 d z d x

Φ x z = ∬ 3 - 3 d z d x = 0

Por fim, para o plano yz:

Φ y z = ∬ E x x 2 - E x x 1 d z d x

Φ y z = ∬ 10 + 2 x 4 - 10 + 1 x 2 d z d x = 6 ∫ 0 1 d y ∫ 1 3 d z = 6 1 3 - 1 = 12

Passo 3

Finalmente!! Podemos utilizar a lei de Gauss para determinar o fluxo elétrico:

q e n v = ε 0 Φ = ε 0 Φ x y + Φ x z + Φ y z = ε 0 6,00 b + 0 + 12 = 24,0 ε 0

portanto :

b = 2,00 N / C m

Resposta

b = 2,00 N / C m

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