Enunciado

(a) Supondo que cada átomo de ouro em uma amostra de metal ouro contribui com um elétron livre, calcule a densidade do elétron livre no ouro sabendo que sua massa atômica é 196,97 g / mol e sua densidade é 19,3 × 103 kg / m3. (b) Se a velocidade de Fermi para o ouro é 1,39 × 106 m / s, qual é a energia de Fermi em elétron-volts? (c) Por qual fator a energia de Fermi é mais alta do que a energia kT à temperatura ambiente? (d) Explique a diferença entre a energia de Fermi e a energia kT.

Passo 1

(a) Vem comigo, vamos pensar aqui rapidinho. Nós sabemos que a densidade de elétrons é dada por:

n e = ρ V = ρ N A N a t o m o m

Onde N a t o m o é o número de elétrons por átomo. Dessa forma, para o ouro:

n e = 19,3 × 10 3 6,022 × 10 23 1 e l é t r o n á t o m o 0,197

n e = 5,9 × 10 28   é l e t r o n s / m 3

Passo 2

(b) Cara, a energia de Fermi pode ser calculada por:

E F = m e u F 2 2

Então, substituindo os valores, fazendo a conversão para elétron-volt:

E F = 9,109 × 10 - 31 1,39 × 10 6 2 2 1 1,602 × 10 - 19

E F = 5,5   e V

Passo 3

(c) Para saber o quanto a energia de Fermi é maior do que a energia k T à temperatura ambiente, vamos só dividir uma pela outra e achar esse fator:

f = E F k T

f = 5,5 0,026

f = 212

Passo 4

(d) Bem, vamos lá. A relação E F / k T , como vimos, é igual a 212 , em T   =   300   K (temperatura ambiente).

Ok, a energia de Fermi é a energia do elétron de condução mais energético quando o cristal está no zero absoluto. Como dois elétrons de condução não podem ocupar o mesmo estado, a energia de Fermi é bastante alta em comparação com k T .

A energia k T é a energia que o elétron de condução médio teria quando o cristal estivesse na temperatura T se os elétrons não obedecessem ao princípio de exclusão.

Resposta

(a) 5,9 × 10 28   é l e t r o n s / m 3

(b) 5,5   e V (c) 212

(d) Explicação no passo a passo.

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