Enunciado

Suponha que i ^ aponta para leste, j ^ aponta para o norte e k ^ aponta para cima. Determine os valores de (a) i ^ ∙ k ^ , (b) - k ^ ∙ - j ^ e (c) j ^ ∙ - j ^ . Determine as orientações (como, por exemplo, para leste ou para baixo) dos produtos vetoriais (d) k ^ × j ^ , (e) - i ^ × - j ^ e (f) - k ^ × - j ^ .

Passo 1

Vamos começar fazendo um desenho desses vetores:

E aquele símbolo em cima do k ^ indica que ele é um vetor saindo do plano da página.

Passo 2

(a) Os vetores i ^ e k ^ são perpendiculares, então:

i ^ ∙ k ^ = 0

Passo 3

(b) Os vetores - k ^ e - j ^ também são perpendiculares:

Então:

- k ^ ∙ - j ^ = 0

Passo 4

(c) Os vetores j ^ e - j ^ são paralelos um ao outro, mas têm sentidos opostos:

- j ^ ∙ j ^ = j ^ - j ^ cos ⁡ θ

Os dois tem o mesmo módulo, pois são vetores unitários:

j ^ = - j ^ = 1

E o ângulo formado por eles é de 180 ° , então:

j ^ ∙ - j ^ = ( 1 ) ( 1 ) cos ⁡ 180 °

j ^ ∙ - j ^ = - 1

Passo 5

(d) Para descobrir a orientação de cada produto vetorial, temos que usar a regra da mão direita.

Em cada caso, você deve apontar o indicador na direçao do primeiro vetor, e o seu dedo médio na direção do segundo.

Depois que fizer isso, estenda o seu polegar. A direção do produto vetorial é a direção em que seu polegar está apontando.

Começamos com k ^ × j ^ :

Nesse caso, seu polegar deveria apontar para oeste, no plano da página.

Passo 6

(e) Agora vamos analisar o caso de - i ^ × - j ^ :

Nesse caso, seu polegar deveria apontar para fora da página (na direção que o enunciado chama de “para cima”).

Passo 7

(f) Por último, vamos considerar o caso de - k ^ × - j ^ .

Mais uma vez, o seu polegar deve apontar para oeste.

Resposta

(a) Zero.

(b) Zero.

(c) - 1 .

(d) Oeste.

(e) Para cima.

(f) Oeste.

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