Enunciado

41. Suponha que o raio do Sol aumentasse para 5,90x10^12 m (o raio médio da órbita do planeta Plutão), que a distribuição de massa do novo Sol fosse uniforme, que a massa do Sol permanecesse a mesma e que os planetas girassem no interior do novo astro. Supondo que o raio da órbita da Terra permanecesse o mesmo, (a) calcule a velocidade orbital da Terra na nova configuração e (b) calcule a razão entre a velocidade orbital calculada no item (a) e a velocidade orbital atual, que é 29,8 km/s. (c) Qual seria o novo período de revolução da Terra?

Passo 1

Haja ar-condicionado pra viver num planeta desses!

a)

Bom, a Terra, nesse caso ai, só vai sofrer a influencia gravitacional da massa que esta dentro da orbita dela.

Como a massa do Sol permaneceu a mesma podemos fazer uma regra de três pra descobrir qual a massa no interior da orbita da Terra:

4 π r 3 3 - M 4 π R 3 3 - M S

Onde r é o raio da orbita da Terra, R é o novo raio do Sol, M é a massa que esta dentro da orbita e M S é a massa total do Sol. Fazendo essa regrinha de três:

M = 4 π r 3 3 ⋅ M S 4 π R 3 3

Simplificando essa expressão:

M = r 3 ⋅ M S R 3

Substituindo esses valores:

M = 1,50 ⋅ 10 11   m 3 ⋅ 1,99 ⋅ 10 30   k g 5,90 ⋅ 10 12   m 3

M = 3,27 ⋅ 10 25   k g

Passo 2

Sabemos que a força gravitacional exercida por essa massa sobre a Terra:

F g = G ⋅ M m r 2

E que a aceleração centripeta da Terra é dada por:

a c = v 2 r

Pela segunda lei de Newton, sabemos que

F = m a

Nesse caso, a força gravitacional é a única atuando sobre a Terra, então ela vai ser a força centripeta. Com isso podemos escrever que

G ⋅ M m r 2 = m ⋅ v 2 r

Vamos isolar a velocidade, que é o que estamos buscando:

v 2 = G M r

v = G M r

Substituindo os valores, que são tabelados:

v = 6,67 ⋅ 10 - 11 3,27 ⋅ 10 25 1,50 ⋅ 10 11

v = 121   m / s

Passo 3

b)

A razão fica fácil calcular:

121   m / s 2,98 ⋅ 10 4   m / s = 0,00406

c)

E para achar o novo período de revolução, só precisamos aplicar os valores na fórmula do período

T = 2 π r v

T = 2 π 1,50 ⋅ 10 11   m 121   m / s

T = 7,79 ⋅ 10 9   s

Transformando para anos:

T = 7,79 ⋅ 10 9   s ⋅ 1   m i n 60   s 1   h 60   m i n 1   d i a 24   h 1   a n o 3 6 5   d i a s

T = 24 7   a n o s

Resposta

a)

v = 121   m / s

b)

121   m / s 2,98 ⋅ 10 4   m / s = 0,00406

c)

T = 247   a n o s

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