Enunciado

Suponha que você esteja de pé sobre uma balança de mola em um elevador que está descendo, com rapidez constante, o túnel de entrada de uma mina localizada no equador. Trate a Terra como uma esfera homogênea.

  1. Mostre que a força da gravidade da Terra sobre você é proporcional à sua distância ao centro do planeta.
  2. Suponha a entrada da mina vertical e localizada no equador. Não despreze o movimento de rotação da Terra. Mostre que a leitura da balança é proporcional à sua distância ao centro do planeta.

Passo 1

  1. Vamos escrever a força da gravidade como função da distância r ao centro. Presta atenção que a massa que vai exercer força gravitacional sobre você é só a parte interna a partir do ponto que você estiver! Então, M ( r ) é a massa da Terra que está na parte interna da distância r .
  2. F = G M r m r 2

    F = G 4 3 ρ π r 3 m r 2

    F = 4 π G ρ m r 3 3 r 2

    F = 4 π G ρ m 3 r

    Essa expressão é diretamente proporcional a r , como queríamos!

    Passo 2

  3. Pela segunda lei de Newton, a aceleração centrípeta que a rotação da Terra exerce na gente é calculada como:

F g - N = m r ω 2

N = 4 π G ρ m 3 r - m r ω 2

N = 4 π G ρ m 3 - m ω 2 r

Isso mostra que, realmente, a força normal, ou seja, a marcação da balança, vai aumentando conforme nos afastamos do centro da Terra, mas, pela ação da centrípeta, também diminui um pouco a marcação na balança. Perceba também que, como só tem forças peso e normal atuando, e já que estamos em equilíbrio nessa situação (elevador desce com velocidade constante), a marcação na balança vai ser realmente o peso.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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