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Exercícios Resolvidos de Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick

Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick - 19.6 - 39

A que temperatura a velocidade média quadrática (a) do H 2 (hidrogênio molecular) e (b) do O 2 (oxigênio molecular) é igual à velocidade de escape da Terra (Ver tabela 13 - 2 )? A que temperatura a velocidade média quadrática (c) do H 2 e (d) do O 2 é igual à velocidade de escape da Lua (onde a aceleração da gravidade na superfície tem um módulo de 0,16   g )? Considerando as respostas dos itens (a) e (b), deve existir muito (e) hidrogênio e (f) oxigênio na atmosfera superior da Terra, onde a temperatura é cerca de 1000   K ?

Obs.: Segundo a tabela 13 - 2 Velocidade de escape da terra é 11,2   k m / s .

Passo 1

(a) A velocidade média quadrática segue essa fórmula aqui:

v r m s = 3 R T M

No caso do hidrogênio molecular H 2 a massa molar é:

M = 2   g / m o l = 2.10 - 3   k g / m o l

E a ideia é que a velocidade fique igual a:

v = 11,2 k m s = 11,2   .   10 3   m / s

Então:

11,2.10 3 = 3 ( 8,32 ) T ( 2.10 - 3 )

Elevando tudo ao quadrado e isolando a temperatura:

T = 11,2.10 3 2 2.10 - 3 ( 3 ) ( 8,32 ) = 1,0   .   10 4   K

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Passo 2

(b) E a única diferença no caso do oxigênio molecular é a massa molar, que agora vai ser:

M = 32,0   .   10 - 3   k g / m o l

Então vamos pegar logo a última equação do passo anterior:

T = 11,2.10 3 2 32.10 - 3 ( 3 ) ( 8,32 ) = 1,6   .   10 5   K

Passo 3

(c) Mais uma vez é quase a mesma coisa do passo 1 , a diferença é a velocidade a que vamos igualar a equação.

v r m s = 3 R T M

T = v r m s 2 M ( 3 R )

E como uma das fórmulas da velocidade de escape é:

v r m s = 2 g L r L

Podemos substituir:

T = 2 g L r L 2 M ( 3 R ) = 2 g L r L M ( 3 R )

E a aceleração da gravidade na lua é:

g L = 0,16 g = 0,16 9,8 = 1,568

E o raio é:

r L = 1,74   .   10 6   m

E então (usando a massa molar do gás hidrogênio de novo):

T = 2 g L r L M ( 3 R ) = 2 1,568 1,74.10 6 2.10 - 3 ( 3 ) ( 8,31 ) = 4,4   .   10 2   K

Passo 4

(d) Ótimo, agora podemos usar essa última fórmula aí pra calcular a temperatura no caso do oxigênio, a única diferença vai ser a massa molar:

M = 32,0   .   10 - 3   k g / m o l

Então:

T = 2 g L r L M ( 3 R ) = 2 1,568 1,74.10 6 32,0.10 - 3 ( 3 ) ( 8,31 ) = 7,0   .   10 3   K

Passo 5

(e) Agora vamos interpretar a resposta que demos no item (a). Vimos que quando a temperatura do gás hidrogênio é próxima de T = 1,0.10 4   K , a velocidade quadrática média das moléculas é v r m s = 11,2   k m / s

Isso quer dizer que se você esquentar o gás a uma temperatura tão elevada, as moléculas vão ter energia suficiente para escapar da atração gravitacional da Terra, e “fugir” para o espaço.

Aí a questão pergunta, se na atmosfera superior da Terra a temperatura está em torno de 1000   K , vai existir muito hidrogênio por lá?

Agora é preciso tomar cuidado, porque o que calculamos é a velocidade média quadrática¸ que não é exatamente a velocidade de cada molécula. Muitas moléculas vão estar acima dela, e muitas vão estar abaixo.

Por isso podemos dizer que essa temperatura deve ser suficiente para que uma boa parte das moléculas de hidrogênio escapem da Terra, e então deve haver pouco H 2 nessa altitude.

Passo 6

(f) No caso do O 2 a situação já fica um pouco diferente, porque a “temperatura de escape” dele é bem maior do que 1000   K , então podemos dizer que poucas moléculas vão escapar da Terra, e então deve haver uma quantidade relativamente maior de O 2 nessa altitude.

Resposta

(a) T = 1,0   .   10 4   K .

(b) T = 1,6   .   10 5   K .

(c) T = 4,4   .   10 2   K .

(d) T = 7,0   .   10 3   K .

(e) A concentração de hidrogênio deve ser relativamente baixa.

(f) A concentração de oxigênio deve ser relativamente elevada.

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