Enunciado

Tempo necessário para um lago congelar. (a) Quando a temperatura do ar é O ºC, a água da superfície de um lago congela e forma uma camada de gelo. Por que o gelo não se forma no volume total do lago? (b) Mostre que a espessura da camada de gelo da superfície do lago é proporcional à raiz quadrada do tempo, se o calor de fusão da água que congela abaixo da camada de gelo sofrer condução através dessa camada. ( c) Supondo que a superfície exterior da camada de gelo esteja a uma temperatura de -1 O ºC e a superfície inferior esteja a O ºC, calcule o tempo necessário para se formar uma camada de gelo com espessura de 25 cm. ( d) Caso o lago no item ( c) tenha uma profundidade de 40 m, quanto tempo seria necessário para que ocorresse o congelamento do volume total do lago? Seria provável que isso ocorresse?

Passo 1

a) O calor deve ser conduzido da água para resfriá-la a 0°C e causar a transição de fase. o inteiro volume de água não está na temperatura de transição de fase, apenas a superfície superior que está em contato com o manto de gelo.

b) O calor que deve deixar a água para que ela congele deve ser conduzido através da camada de gelo que já foi formado

Passo 2

Considere uma seção de gelo que tem área A. No tempo t, seja a espessura h. Considere um curto intervalo de tempo t para t + d t . Seja dh a espessura que congela neste tempo. A massa da seção que congela no intervalo de tempo d t   é d m = ρ d V = ρ A d h . O calor que deve ser conduzido para longe dessa massa de água para congelá-la é

d Q = d m L f = ρ A L f d h  

H = d Q d t = k A Δ T h

então o calor dQ conduzido no tempo dt ao longo da espessura h isso já existe

d Q = k A T H - T C h d t

Resolva para dh em termos de dt e integre para obter uma expressão relativa h e t.

ρ A L f d h = k A T H - T C h d t

h d h = k T H - T c ρ L f d t

∫ 0 h h d h = k T H - T c ρ L f ∫ 0 t d t

1 2 h 2 = k T H - T C ρ L f t  

h = 2 k T H - T C ρ L f t

A espessura após o tempo t é proporcional a t

Passo 3

c) t = h 2 ρ L f 2 k T H - T C = 0.25 2 920 334 ∙ 10 3 2 1.6 0 - - 10 = 6 ∙ 10 5 s

t = 170   h

d) Encontre t para 40 m. t é proporcional a h², então t = 40 0.25 2 6.00 ∙ 10 5 = 1.5 ∙ 10 10 . Isso é sobre 500 anos. Com o nosso clima atual isso não vai acontecer.

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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