Enunciado

Um tipo de aço possui densidade igual a 7,8 × 10 3   k g / m 3 , e uma tensão de ruptura igual a 7,0 × 10 8   N / m 2 . Uma corda cilíndrica de uma guitarra deve ser fabricada usando-se 4,0   g desse aço. a) Qual deve ser o comprimento e o raio da corda mais grossa e da corda mais fina para suporta uma tensão de 900   N sem se romper? b) Qual é a frequência fundamental mais elevada que essa corda pode ter?

Passo 1

A tensão de ruptura é dada em Newtons por metro quadrado, portanto, podemos expressá-la da seguinte forma:

T r = F A

Sendo que A é área da seção transversal da corda cilíndrica, ou seja, a circunferência que compõe o cilindro.

Isolamos A :

A = F T r

E como a corda é cilíndrica:

A = π r 2

Substituindo:

r = F π T r

Colocando os valores:

r = 900   N π 7,0 × 10 8   N / m 2

O raio será

r = 0,640   m m

Passo 2

E para encontrarmos o comprimento, basta usarmos a densidade: ρ = m / V

Isolarmos o volume:

V = m / ρ

E dividirmos ele pela área da seção transversal para obter o comprimento:

L = V A = m A ρ = m π r 2 ρ

Substituindo os valores:

L = 0,004   k g π ( 0,40   m ) 2 7,8 × 10 3 k g / m 3 = 0,40   m

Passo 3

b) Para encontrarmos a frequência fundamental, vamos usar a equação de velocidade da onda em uma corda:

v = F μ

E a equação das frequências:

f n = n v 2 L

Como é a frequência fundamental, n = 1 . Substituindo v na última equação:

f 1 = 1 2 L F μ = 1 2 L F L m = 1 2 F m L

E agora usamos os valores que calculamos nos passos anteriores:

f 1 = 1 2 900   N 0,40   m ( 0,004   k g )

f 1 = 375   H z

Resposta

a   r = 0,640   m m

L = 0,40   m

b   375   H z

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