Enunciado

Um tubo fechado em ambas as extremidades pode ter ondas estacionarias dentro dele, só que você normalmente não as ouve porque muito pouco do som pode sair do tubo. Entretanto você pode ouvir esse som se estiver dentro do tubo, como alguém cantando no chuveiro. a) Mostre que os comprimento de onda das ondas estacionarias em um tubo de comprimento L fechado em ambas as extremidades são λ n = 2 L / n , e que as frequências são dadas por f n = n v / 2 L = n f 1 onde n = 1 ,   2 ,   3 … b) Imaginando que essa pessoa tomando banho estivesse dentro de um tubo, encontre a frequência fundamental e a frequência dos dois primeiros sobretons de um chuveiro a 2,50   m altura. Essas frequências são audíveis?

Passo 1

a) Bom, começamos pelo que a gente sabe, o tubo tem as duas extremidades fechadas, então teremos dois nós de deslocamento nelas, e como queremos no estado fundamental, não há mais nenhum nó no meio. Como ocorre ressonância dentro do tubo, o comprimento de onda é:

λ 1 2 = L

λ 1 = 2 L

E para cada sobretom superior, adicionamos λ / 2 na primeira equação, assim:

n λ n 2 = L

O que significa que quanto mais sobretons, menor fica o comprimento, já que L está fixo.

Isolando λ n :

λ n = 2 L n

Pronto! Demonstramos o que a questão pede.

Passo 2

b) Agora é só usar a equação de velocidade de uma onda: v = λ f

E substituir λ n :

v f n = 2 L n

Isolando f n :

f n = n v 2 L

A questão deu o comprimento do tubo em que a pessoa está dentro, e a velocidade do som podemos usar 344   m / s , para a frequência fundamental teremos:

f 1 = v 2 L

Substituindo os valores:

f 1 = 344   m / s 2 ( 2,5   m ) = 68,8   H z

Passo 3

E para os dois primeiros sobretons:

f n = n f 1

f 2 = 2 68,8   H z = 138   H z

f 3 = 206   H z

Todas as frequência são audíveis, já que o limite inferior do ouvido humano para as frequências sonoras é 20   H z .

Resposta

b )   f 1 = 68,8   H z

f 2 = 138   H z

f 3 = 206   H z

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