Enunciado

Uni elétron está confinado em um poço de potencial infinito unidimensional. Determine o valor (a) do número quântico maior e (b) do número quântico menor para que a diferença de energia entre o estado seja igual à energia do nível n = 5. (c) Mostre que não existe um par de níveis vizinhos com uma diferença de energia igual à energia do nível n = 6 .

Passo 1

Vamos escrever uma equação geral para a diferença entre dois níveis de energia próximos. A equação dos níveis de energia de um poço é a seguinte:

E n = n 2 h 2 8 m L 2

Para fazermos a diferença entre dois níveis basta fazermos:

E n ' - E n = h 2 8 m L 2 ( n ' 2 - n 2 )

Como estamos calculando de níveis próximos, podemos substituir n ' = n + 1 , ficando com:

E n + 1 - E n = h 2 8 m L 2 ( n + 1 2 - n 2 )

E n + 1 - E n = h 2 8 m L 2 ( 2 n + 1 )

Sabemos também que:

E 1 = h 2 8 m L 2

Então:

E n + 1 - E n = E 1 ( 2 n + 1 )

Passo 2

Como o enunciado diz que a diferença entre esses dois níveis é igual à energia do nível cinco, ficamos com:

E n + 1 - E n = E 5

Mas E 5 é:

E 5 = 5 2 h 2 8 m L 2 = 5 2 E 1 = 25 E 1

Então:

E 1 ( 2 n + 1 ) = 25 E 1

2 n + 1 = 25

n = 12

Passo 3

(a) Agora podemos responder as questões, basta somarmos 1 ao valor que encontramos na questão anterior para sabermos o maior número quântico:

n + 1 = 13

Passo 4

(b) O menor número quântico será o próprio n :

n = 12

Passo 5

(c) Usando o mesmo raciocionio do passo 2:

E n + 1 - E n = E 6 = 6 2 E 1

Temos o seguinte:

E 1 ( 2 n + 1 ) = 36 E 1

O que resulta em:

n = 17,5

Como é um número fracionário, não existe um par de níveis de energia que satisfaça E n + 1 - E n = E 6 .

Resposta

a   n = 13

b   n = 12

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