Enunciado

o urânio natural hoje contém apenas 0 ,   72 % de U 235 em mistura com o U 23 8 , uma quantidade insuficiente para fazer funcionar um reator do tipo PWR. Por essa razão, o urânio deve ser enriquecido artificialmente em U 235 . Tanto o U 235 ( T 1 / 2 =   7,0   × 10 8   a n o s ) como o U 23 8 ( T 1 / 2 =   4,5   × 10 9   a n o s ) são radioativos. Há quantos anos o urânio natural poderia ter sido usado diretamente em um reator, com uma razão U 235 / U 238 de 3,0 % ?

Passo 1

Bom, primeiro a gente considera que o tempo inicial, ou seja, t = 0 , é o momento em que a razão entre o número de átomos de uranio U 235 e de uranio U 238 é de 3,0 %

Então usamos a equação de decaimento radioativo:

N = N 0 e - λ t

para o número de cada isótopo, primeiro usamos a equação para o isótopo U 235 :

N 235 = N 0,235 e - λ 235 t

E para o isótopo U 238 :

N 23 8 = N 0,23 8 e - λ 23 8 t

Depois dividimos a primeira equação que escrevemos pela segunda, ficando com o seguinte:

r = r 0 e - λ 235 - λ 238 t

Onde:

r = N 235 N 238 = 0,0072

r 0 = N 0,235 N 0,238 = 0,030

Passo 2

Usando a relação entre o tempo de meia vida de cada elemento com a constante de decaimento λ :

λ 235 = ln ⁡ 2 T 1 / 2 235  

λ 23 8 = ln ⁡ 2 T 1 / 2 23 8  

A equação fica o seguinte:

r = r 0 e - ln ⁡ 2 T 1 / 2 235     -   ln ⁡ 2 T 1 / 2 238   t

Jogando o r 0 para o outro lado e aplicando a função l n dos dois lados, temos:

ln ⁡ r r 0 = - ln ⁡ 2 T 1 / 2 235     -   ln ⁡ 2 T 1 / 2 238   t

Isolando t :

t = ln ⁡ r r 0 ln ⁡ 2 T 1 / 2 238   - ln ⁡ 2 T 1 / 2 235  

Passo 3

Substituindo cada valor, pelos valores que já temos dos r e dos tempos de meia-vida:

t = ln ⁡ 0,0072 0,030 ln ⁡ 2 4,5   × 10 9   a n o s   - ln ⁡ 2 7,0   × 10 8   a n o s  

E resolvendo:

t = 1,7 × 10 9   a n o s

Resposta

t = 1,7 × 10 9   a n o s

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