Usando uma extensão do processo que leva a (5-31), obtenha a equação de Schroedinger para uma partícula de massa m se movendo em três dimensões (descritas por coordenadas retangulares x , y e z ).

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Para obter a equação (5-31), o livro usou a relação

p 2 2 m + V = E

juntamente com as definições de operadores:

p = - i ℏ ∂ ∂ x               e             E = i ℏ ∂ ∂ t

Generalizando para três dimensões, deveríamos ter

p → = - i ℏ   ∂ ∂ x   x ^ + ∂ ∂ y   y ^ + ∂ ∂ z   z ^

Assim,

p 2 = p → ⋅ p → = - ℏ 2   ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2

Passo 2

Desta forma,

- ℏ 2 2 m ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2   Ψ + V   Ψ = i ℏ ∂ ∂ t   Ψ

Portanto,

- ℏ 2 2 m ∂ 2 Ψ ∂ x 2 + ∂ 2 Ψ ∂ y 2 + ∂ 2 Ψ ∂ z 2 + V   Ψ = i ℏ ∂ Ψ ∂ t

Lembrando da definição do laplaciano, podemos escrever ainda

- ℏ 2 2 m   ∇ 2 Ψ + V Ψ = i ℏ ∂ Ψ ∂ t

Resposta

- ℏ 2 2 m ∂ 2 Ψ ∂ x 2 + ∂ 2 Ψ ∂ y 2 + ∂ 2 Ψ ∂ z 2 + V   Ψ = i ℏ ∂ Ψ ∂ t

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