Enunciado

  1. Usando a integral do problema 39.68 , determine a função de onda ψ ( x ) para uma função B ( k ) dada por:
  2. 0 e k 0 . Portando, ψ ( x ) representa uma partícula com uma função de onda médio k 0 / 2 , com um espalhamento toal ou incerteza igual a k 0 . Chamaremos esse espalhamento de largura w k de B ( k ) , logo, w k = k 0 .

  3. Faça um gráfico de B ( k ) contra k e de ψ ( x ) contra x no caso k 0 = 2 π / L , onde L é um comprimento. Localize o ponto para o qual ψ possui valor máximo e assinale esse ponto sobre o gráfico. Localize os dois pontos mais próximos desse máximo (um para cada lado dele) para os quais ψ = 0 e defina w k a distancia entre esses dois pontos ao longo do eixo O x a largura de ψ ( x ) . Indique a distancia w k no seu gráfico. Qual é o valor de w k para 2 π / L ?
  4. Repita o item (b) para o caso k 0 = π / L .
  5. O momento linear p é igual a h k / 2 π , de modo que a largura de B no momento linear é w p = h w k / 2 π . Calcule o produto w x w p para cada um dos casos k 0 = 2 π / L e k 0 = π / L . Discuta os seus resultados com base na aplicação do principio da incerteza de Heisenberg.

Passo 1

Olá, tudo bem? Vou ajudar você nessa aqui! Vamos lá?

Letra a)

Usando a integral que o enunciado propõe, e sabendo que B é nulo fora do intervalo de 0 ≤ k ≤ k 0 , a função de onda fica assim ó:

ψ x = ∫ 0 ∞ B k cos ⁡ k x d k = ∫ 0 k 0 1 k 0 cos ⁡ ( k x ) d k

Como 1 / k 0 é constante, pode sair da integral e daí ficamos com uma integral só com cosseno, que já sabemos resolver =)

ψ x = 1 k 0 sin ⁡ k x x 0 k 0 = sin ⁡ k 0 x k 0 x

ψ x = sin ⁡ k 0 x k 0 x

Passo 2

Letra b)

O valor máximo dessa função, como vimos no livro texto, vai ser na origem x = 0 . Isso se dá ao fato de que a função de onda aqui é uma combinação de duas funções: seno e uma hipérbole. O seno fica sempre oscilando entre seus valores máximos e mínimos, e esses são fixos. Já a hipérbole tende ao infinito quando se aproxima do zero, e tende a zero quando x aumenta, tanto para mais, quanto para menos infinito.

O resultado dessa combinação é um máximo na origem e um conjunto de picos menores, dos dois lados, se achatando mais à medida que x → ± ∞ . A função de onda é nula quando temos:

ψ x = sin ⁡ k 0 x k 0 x = 0

sin ⁡ k 0 x = 0

Ou seja, onde k 0 x 0 = π , x 0 = π / k 0 . E a largura dessa função vai ser:

w k = 2 x 0 = 2 π k 0

Se tivermos k 0 = 2 π L , então a largura fica assim:

w k = 2 π 2 π / L = 2 π   . L 2 π = L

O gráfico de B ( k ) contra k é uma reta horizontal, pois B é constante (com o valor de 1 / k 0 ) no intervalo de 0 ≤ k ≤ k 0 . Tanto antes e depois desse intervalo, B é zero. Então o gráfico é assim ó:

Já o gráfico de ψ contra x vai ser como eu expliquei ali em cima: um máximo na origem com o valor de 1 e vai oscilando com a amplitude diminuindo para ambos lados.

Passo 3

Letra c)

Se tivermos k 0 = π / L o valor da largura vai ser modificado. Resgatando a expressão w k = 2 x 0 = 2 π k 0

Para a largura calculado no item anterior, agora com novo valor para k 0 :

w k = 2 π π / L = 2 π   . L π = 2 L

Passo 4

Letra d)

Agora vamos calcular o produto w x w p . O valor de w x é 2 π / k 0 . O valor de w p é k w k / 2 π . O produto fica:

w x w k = h w k 2 π 2 π k 0 = h w k k 0 = h

O principio da incerteza nos diz que w p w x ≥ h / 2 π . Para o nosso cão, não interessa o valor de k 0 , o principio da incerteza é sempre satisfeito =)

Resposta

a ) ψ x = sin ⁡ k 0 x k 0 x

b ) w k = L

c ) w k = 2 L

d ) w x w p = h

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