Enunciado

Um dos comprimentos de onda emitidos pelos átomos de hidrogênio submetidos a condições normais de laboratório é λ = 656,3   n m , na região vermelha do espectro eletromagnético. Observando-se essa mesma luz emitida por uma galáxia distante, verifica-se que ela sofre um deslocamento Doppler para λ = 953,4   n m , na região infravermelha do espectro eletromagnético. Qual é a velocidade dessa galáxia em relação à Terra? Ela está se aproximando ou se afastando da Terra?

Passo 1

A gente tá falando de ondas eletromagnéticas, então o efeito Doppler precisa ser relativístico, já que envolve a velocidade da luz. Pela equação de efeito Doppler:

f = c - u c + u f 0

Esse deslocamento no comprimento de onda ocorre por conta da galáxia estar se deslocando com a velocidade u em relação à Terra. Vamos isolar essa velocidade então:

u = c 1 - ( f / f 0 ) 2 1 + ( f / f 0 ) 2

Isso é o que precisamos calcular.

Passo 2

Mas não temos as frequências dessas ondas, como elas sempre se deslocam na velocidade c então podemos usar a equação de velocidade da onda:

c = λ f

f = c / λ

Para sumirmos com f na equação:

u = c 1 - ( c / λ / c / λ 0 ) 2 1 + ( c / λ / c / λ 0 ) 2

Simplificando os c :

u = c 1 - ( λ 0 / λ ) 2 1 + ( λ 0 / λ ) 2

E por fim, a gente substitui o valor de λ 0 pelo comprimento do hidrogênio nas condições de laboratório e o valor de λ pelo valor do hidrogênio se deslocando com a galáxia:

u = c 1 - ( 656,3   n m / 953 , 4   n m ) 2 1 + ( 656,3   n m / 953,4   n m ) 2

u = 0,357 c = 1,07 × 10 8   m / s

Essa vai ser a velocidade da galáxia para a gente na Terra.

Resposta

u = 0,357 c = 1,07 × 10 8   m / s

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