a. Use os cálculos feitos nos problemas de 1 a 4 para estimar a dependência radial da autofunção relativa ao estado fundamental do dêuteron num potencial de raio 2,0 F e profundidade 36 M e V .

b. Esboce o potencial V ( r ) e a função u ( r ) = R ( r ) .

c. Esboce também a densidade de probabilidade radial P ( r ) .

Passo 1

Iremos usar alguns dados importantes dos outros problemas que irei citar durante nossa resolução. Para começar, pegamos os dados do problema 4, tais como: Δ E = 2.2 e V que é a energia de ligação do dêuteron observada experimentalmente, raio r = 2.0 F , profundidade do potencial V 0 = 36 M e V , os valores k 1 = 0.9 F - 1 e k 2 = 0.23 F - 1 do problema 2.

Passo 2

As funções obtidas no problema 2 são dadas por:

u ( r ) = A s e n ( k 1 r ) + B c o s ( k 1 r ) ,   r ≤ r   ' ;

u ( r )   = C e - k 2 r + D e k 2 r ,   r > r   '

As condições de contorno impostas no problema 3 nos dão os passos que precisamos para determinar um termo em função de uma única variável.

Q u a n d o   r → 0 ;   u = 0 ,   e n t ã o   B = 0 ;   D = 0 ,   q u a n d o   r → ∞ ,   u → ∞ assim:

u ( r ) = A s e n ( 0.9 r ) ,   r ≤ r   '   = 2 F ;

u ( r )   = C e - 0.23 r ,   r > r   ' = 2 F .

Essas expressões devem ser as mesmas para r   ' . Precisamos de uma relação entre esses termos para que possamos ir adiante. Vamos igualar os termos e encontrar uma relação para C em termos de A.

A s e n ( 0,9 r ) = C e - 0.23 r → C / A = s e n ( 0.9 ⋅ 2 ) / e - 0,23 ⋅ 2 = 1.54

C / A = 1,54 → C = 1,54 A .

Passo 3

a. Agora com nossas ferramentas em mãos iremos para a parte da função u * ( r ) u ( r ) ser normalizada de onde foi extraída do problema 1.

∫ 0 ∞ R * ( r ) R ( r ) d r = ∫ 0   ∞ 4 π r   2 R   2 ( r ) d r = ∫ 0 ∞ 4 π u   2 ( r ) d r (1)

Escrevendo u ( r ) em termos de A e aplicando a integral acima, temos

4 π A 2 { ∫ 0 2 s e n 2 ( 0.9 r ) d r + ∫ 2 ∞ ( 1.54 ) 2   e - 0.23 r d r } (2)

Obs: s e n 2 ( a ) + c o s 2 ( a ) = 1

c o s ( a ± b )   =   c o s ( a ) c o s ( b ) - s i n ( a ) s i n ( b ) ;   p a r a   a = b

c o s ( 2 a ) = c o s   2 ( a ) - s e n   2 ( a ) ;

usando a relação: c o s   2 ( a ) = 1 - s e n   2 ( a )

c o s ( 2 a ) = 1 - s e n 2 ( a ) - s e n 2 ( a ) = 1 - 2 s e n 2 ( a )

s e n 2 ( a ) = 1 2 [ 1 - c o s ( 2 a ) ] ,

agora substituímos essa relação na equação (2)

4 π A 2 { 1 2 ∫ 0 2 [ 1 - c o s ( 2 ⋅ 0.9 r ) ] d r + ∫ 2 ∞ ( 1.54 ) 2   e - 0,23 r d r } (3)

Integral 1

1 2 ∫ 0 2 [ 1 - c o s ( 2 ⋅ 0.9 r ) ] d r = ( 1 / 2 ) { ∫ 0 2 d r - ∫ 0 2 c o s ( 1.8 r ) d r }

= ( 1 / 2 ) { ∫ 0 2 d r - ∫ 0 2 c o s ( 1.8 r ) d r = 1 / 2 ( r ) ⎟ 0 2 + ( 1 / 2 ) ( 1 / 1.8 ) ( s e n ( 1.8 r ) ⎟ 0 2

= 1 / 2 ( r ) ⎟ 0 2 + ( 1 / 2 ) ( 1 / 1.8 ) ( s e n   ( 1.8 r ) ⎟ 0 2 = 1.123

Integral 2

∫ 2 ∞ ( 1,54 ) 2   e - 0,23 r d r = ( 1.54 ) 2 ∫ 2 ∞ e - 0.23 r d r

= ( 1.54 ) 2 ( - 1 / 0.23 ) ∫ 2 ∞   e   y d y = ( 1.54 ) 2 ( - 1 / 0.23 ) e - 0.23 r ⎟ 2 ∞ = 0.866

as integrais de c o s   ( 1.8 r ) e e - 0.23 r foram resolvidas por substituição.

Entretanto, a equação (2) ainda não foi normalizada. Mas já temos as respostas para que isso aconteça usando as respostas das integrais e substituindo na equação (2).

4 π A 2 { ( 1.123 ) + ( 1.54 ) 2 ( 0.866 ) } = 1

A = 1 / ( 4 π { ( 1.123 ) + ( 1.54 ) 2 ( 0.866 ) } = 0.16

Com isso, nossa dependência radial é da forma:

u ( r ) = ( 0.16 ) s e n ( 0.9 r ) ,   r ≤ 2 ;

u ( r )   = ( 0.24 ) e - 0.23 r ,   r > 2 .

Resposta

a.

u ( r ) = ( 0.16 ) s e n ( 0.9 r ) ,   r ≤ 2 ;

u ( r )   = ( 0.24 ) e - 0.23 r ,   r > 2 .

b. Consultando o problema 2, o nosso potencial está confinado entre 0 e 2.

c. A densidade de probabilidade radial também se encontra no mesmo intervalo.

Ver Outros Exercícios desse livro