Enunciado

(a) Use o resultado do problema 45.38 para calcular a distância entre os átomos no equilíbrio para a molécula de H C l . A massa de um átomo de cloro é igual a 5,81 × 10 - 26   k g , e a massa de um átomo de hidrogênio é igual a 1,67 × 10 - 27   k g . (b) Os valores de l variam de ± 1 nas transições rotacionais. Qual é o valor de l para o nível superior da transição que deu origem a cada um dos comprimentos de onda mencionados no Problema 42.38? (c) Qual é a linha com o comprimento de onda mais longo no espectro rotacional do H C l ? (d) Calcule os comprimentos na molécula de cloreto de deutério (DCI). Nessa molécula um átomo de hidrogênio do H C l é substituído por um átomo de deutério, um isótopo do hidrogênio com massa igual a 3,34 × 10 - 27   k g . Suponha que a distância entre os átomos no equilíbrio seja a mesma da molécula de H C l .

Passo 1

Lá no problema 45.38 , encontramos essa fórmula aqui:

I = m r r 2 = 2,71 × 10 - 47   k g ∙ m 2

Onde m r é a massa reduzida de um par de moléculas:

m r = m a m b m a + m b

Então beleza, vamos aproveitar essa fórmula pra calcular a distância r entre os átomos na molécula de H C l . As massas são:

m C l = 5,81 × 10 - 26

m H = 1,67 × 10 - 7

E a massa reduzida é:

m r = 5,81 × 10 - 26 ( 1,67 × 10 - 2 7 )   1,67 × 10 - 2 7 + 5,81 × 10 - 26 = 1,623 × 10 - 27   k g

Então agora é só isolar na fórmula lá de cima pra encontrar r :

r = I m r = 2,71 × 10 - 47 1,623 × 10 - 27

r = 1,29 × 10 - 10   m

r = 0,129   n m

Pronto!

Passo 2

(b) A energia rotacional de um nível l é:

E l = l l + 1 2 I ℏ 2

Então se a gente quiser descobrir qual foi a variação de energia quando fomos do nível l - 1 para um nível l , é só fazer essa conta aqui:

Δ E = E l - E l - 1

Substituindo na fórmula de cima:

Δ E = l l + 1 ℏ 2 2 I - l l - 1 ℏ 2 I

Δ E = [ l l + 1 - l l - 1 ℏ 2 2 I

Multiplicando esses parênteses, vamos acabar com uma expressão bem mais simples:

Δ E = l   ℏ 2 I

Beleza, essa aí é a variação de energia que ocorreu quando cada um dos comprimentos de onda mencionados lá no outro problema foi gerado!

Como a gente pode relacionar isso com o comprimento de onda? Bom, essa variação de energia tem que ser igual à energia do fóton gerado, então:

Δ E = h c λ

Igualando as duas:

l   ℏ 2 I = h c λ

Isolando l :

l = h c I λ ℏ 2

Lembrando que ℏ = h / 2 π , então:

l = 2 π c I ℏ λ

Agora é só aplicar essa fórmula!

Passo 3

Vamos começar substituindo os valores das constantes:

l = 2 π c I ℏ λ = 2 π 3,0 × 10 8 2,71 × 10 - 47 1,055 × 10 - 34   λ

l = 4,843 × 10 - 4 λ

E temos que calcular isso para os cinco comprimentos de onda que foram mencionados lá no exercício 45.3.

Quando λ = 60,4 × 10 - 6   m :

l = 4,843 × 10 - 4 60,4 × 10 - 6 = 8

Quando λ = 69,0 × 10 - 6   m :

l = 4,843 × 10 - 4 69,0 × 10 - 6 = 7

Quando λ = 80,4 × 10 - 6   m :

l = 4,843 × 10 - 4 80,4 × 10 - 6 = 6

Quando λ = 96,4 × 10 - 6   m :

l = 4,843 × 10 - 4 96,4 × 10 - 6 = 5

E finalmente, quando λ = 120,4 × 10 - 6   m :

l = 4,843 × 10 - 4 120,4 × 10 - 6 = 4

Resolvido!

Passo 4

(c) O próximo problema é o seguinte: entre todos os comprimentos de onda, para todos os valores diferntes de l , qual é o maior?

Vamos lembrar da relação entre a energia do fóton emitido e o comprimento de onda:

Δ E = h c λ

São inversamento proporcionais! Então quando maior o comprimento de onda, menor vai ser a variação de energia.

E a relação da variação de energia com o l é:

Δ E = l   ℏ 2 I

Então, já que a gente esta procurando a menor energia, que dá o maior comprimento de onda, temos que escolher o menor l .

No nosso vamos escolher l = 1 , que nessa nossa expressão está representando a transição do l = 1 até o l = 0 :

Δ E = 1 1,055 × 10 - 34 2 2,71 × 10 - 47

Δ E = 4,10 × 10 - 22   J

E o comprimento de onda associado a essa energia é:

Δ E = h c λ         ⇒           λ = h c Δ E

λ = 6,63 × 10 - 34 3,0 × 10 8 4,10 × 10 - 22 = 485 × 10 - 6   m

λ = 485   μ m

Passo 5

(d) Agora quermos calcular aqueles mesmos comprimentos de onda, mas para uma outra molécula, o D C l .

O primeiro passo é encontrar a massa reduzida da molécula. Só vamos trocar o hidrogênio pelo duetério, o cloro continua onde estava:

m D C l = 5,81 × 10 - 26 ( 3,34 × 10 - 27 )   3,34 × 10 - 27 + 5,81 × 10 - 26 = 3,158 × 10 - 27   k g

E como vamos relacionar isso ao comprimento de onda? Vamos voltar na fórmula lá de cima:

l = 2 π c I ℏ λ

Reorganizando um pouco:

λ = 2 π c I l ℏ  

A única coisa que muda aqui quando vamos do H C l para o D C l é o momento de inércia. Justamente por conta da massa reduzida! O momento de inércia é I = m r r 2 , então:

λ = 2 π c r 2 l ℏ   m r = K   m r

K é só um nome que demos para esse monte de constantes! Então o comprimento de onda é diretamente proporcional à massa:

λ H C l = K   m H C l  

λ D C l = K   m D C l

Isolando a constante K nas duas expressões, vamos encontrar o seguinte:

λ D C l λ H C l = m D C l m H C l

E a gente tem tudo pra calcular essa razão do lado direito:

λ D C l λ H C l = 3,158 × 10 - 27 1,623 × 10 - 27 = 1,946

E finalmente:

λ D C l = 1,946   λ H C l

Agora é só aplicar essa fórmula para os vários comprimentos de onda!

Passo 6

Quando λ = 60,4 × 10 - 6   m :

λ D C l = 1,946   λ H C l

λ D C l = 1,946   60,4 × 10 - 6 = 118 × 10 - 6   m

Quando λ = 69,0 × 10 - 6   m :

λ D C l = 1,946   69,0 × 10 - 6 = 134 × 10 - 6   m

Quando λ = 80,4 × 10 - 6   m :

λ D C l = 1,946   80,4 × 10 - 6 = 156 × 10 - 6   m

Quando λ = 96,4 × 10 - 6   m :

λ D C l = 1,946   96,4 × 10 - 6 = 188 × 10 - 6   m

E finalmente, quando λ = 120,4 × 10 - 6   m :

λ D C l = 1,946   120,4 × 10 - 6 = 234 × 10 - 6   m

Resolvido!

Resposta

(a) A distância é r = 0,129   n m

(b) l = 8 para λ = 60,4 μ m ; l = 7 para λ = 69,0 μ m ; l = 6 para λ = 80,4 μ m ; l = 5 para λ = 96,4 μ m ; l = 4 para λ = 120,4 μ m .

(c) O maior comprimento de onda é λ = 485   μ m .

(d) Nesse caso os comprimentos de onda são λ = 118   μ m , λ = 134   μ m , λ = 156   μ m , λ = 188   μ m , λ = 234   μ m .

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29. Use os dados do apêndice 2D para predizer qual dos seguintes pares de íons deveria ter a maior atração coulômbica em um composto sólido: (a) K+,O2-; (b) Ga3+,O2-;(c)Ca2+,O2-.
Explique porque a energia de rede do cloreto de lítio ( 861k J . m o l ⁻ ¹ ) ⁻¹ é maior do que a do cloreto de rubídio ( 695k J . m o l ⁻ ¹ ) ⁻¹ , sabendo-se que os íons têm arranjos semelhantes na re
2.32) Explique por que a energia de rede do brometo de prata ( 903 k J . m o l ⁻ ¹ ) ⁻¹ é maior do que a do iodeto de prata ( 887 k J . m o l ⁻ ¹ ) ⁻¹ , sabendo-se que os ions têm arranjos semelhantes
Use os dados do Apêndice 2D para predizer qual dos seguintes pares de íons deveria ter a maior atração coulômbica em um composto sólido:Mg²⁺, S ²⁻Mg ²⁺, O²⁻Mg²⁺, Se²⁻
Com a ajuda da Tabela 16.4, determine o número de coordenação do íon metálico em cada um dos seguintes complexos: [ N i C l 4 ] 2 - ; [ A g ( N H 3 ) 2 ] + ; P t C l 2 e n 2 2 + ; [ C r ( e d t a ) ]