Enunciado

Linhas espectrais dos isótopos. A distância correspondente ao equilíbrio da molécula de N a C l é igual a 0,2361   n m . A massa do átomo de sódio é 3,8176 × 10 - 26   k g . O cloro possui dois isótopos estáveis, o 35Cl e o 37Cl, de massas diferentes, mas com propriedades químicas idênticas. A massa do átomo de 35Cl é de 5,8068 × 10 - 26   k g e a massa do átomo de 37Cl é igual a 6,1384 × 10 - 26   k g . (a) Calcule o comprimento de onda do fóton emitido na transição l = 2 → l = 1 e na transição l = 2 → l = 0 para o Na35Cl. (b) Repita o item (a) para o Na37Cl. Quais são as diferenças nos comprimentos de onda para esses dois isótopos?

Passo 1

(a) Vamos começar calculando o momento de inércia I para a molécula de Na35Cl:

I = m r r 2

Para isso precisamos primeiro da massa reduzida m r :

m r = m a m b m a + m b = 3,8176 × 10 - 26 5,8068 × 10 - 26 5,8068 × 10 - 26 + 3,8176 × 10 - 26 = 2,303 × 10 - 26   k g

E como a distância entre os dois átomos é 0,2361 × 10 - 9   m , o momento de inércia é:

I = 2,303 × 10 - 26 0,2361 × 10 - 9 2 = 1,284 × 10 - 45   k g ∙ m 2

Passo 2

Agora precisamos calcular a variação de energia na transição de l = 2 para l = 1 , conforme o enunciado pediu.

A energia de um nível l qualquer é:

E l = l l + 1 2 I ℏ 2

Então:

E 2 = 2 2 + 1 ℏ 2 2 I = 6 ℏ 2 2 I

E 1 = 1 1 + 1 ℏ 2 2 I = 2 ℏ 2 2 I

E a diferença é:

Δ E = 6 ℏ 2 2 I - 2 ℏ 2 2 I = 2 ℏ 2 I

E agora podemos calcular a energia:

Δ E 2 → 1 = 2 1,055 × 10 - 34 2 1,284 × 10 - 45 = 1,734 × 10 - 23   J

E com isso podemos calcular o comprimento de onda:

Δ E = h c λ       ⇒           λ = h c Δ E

Substituindo tudo:

λ 2 → 1 = 6,63 × 10 - 34 3,0 × 10 8 1,734 × 10 - 23 = 1,146 × 10 - 2   m

E na transição de l = 1 para l = 0 :

Δ E 1 → 0 = 0 ( 0 + 1 ) ℏ 2 2 I - 1 ( 1 + 1 ) ℏ 2 2 I = ℏ 2 I

E com isso:

Δ E 1 → 0 = 1,055 × 10 - 34 2 1,284 × 10 - 45 = 8,67 × 10 - 24   J

O comprimento de onda:

λ 1 → 0 = 6,63 × 10 - 34 3,0 × 10 8 8,67 × 10 - 24 = 2 , 291 × 10 - 2   m

Pronto!

Passo 3

(b) Agora vamos calcular o momento de inércia I para a molécula de Na37Cl:

I = m r r 2

Mais uma vez, temos que encontrar a massa reduzida:

m r = m a m b m a + m b = 3,8176 × 10 - 26 6,1384 × 10 - 26 6,1384 × 10 - 26 + 3,8176 × 10 - 26 = 2,354 × 10 - 26   k g

E como a distância entre os dois átomos é 0,2361 × 10 - 9   m , o momento de inércia é:

I = 2,354 × 10 - 26 0,2361 × 10 - 9 2 = 1,312 × 10 - 45   k g ∙ m 2

Passo 4

Agora vamos usar as mesmas fórmulas de antes para calcular as transições!

Começando com l = 2 → l = 1 . A fórmula para a variação de energia é a mesma de antes:

Δ E 2 → 1 = 6 ℏ 2 2 I - 2 ℏ 2 2 I = 2 ℏ 2 I

E agora podemos calcular a energia:

Δ E 2 → 1 = 2 1,055 × 10 - 34 2 1,312 × 10 - 45 = 1,697 × 10 - 23   J

E com isso podemos calcular o comprimento de onda:

λ = h c Δ E

λ 2 → 1 = 6,63 × 10 - 34 3,0 × 10 8 1,697 × 10 - 23 = 1,171 × 10 - 2   m

E na transição de l = 1 para l = 0 :

Δ E 1 → 0 = 0 ( 0 + 1 ) ℏ 2 2 I - 1 ( 1 + 1 ) ℏ 2 2 I = ℏ 2 I

E com isso:

Δ E 1 → 0 = 1,055 × 10 - 34 2 1,312 × 10 - 45 = 8,485 × 10 - 24   J

O comprimento de onda é:

λ 1 → 0 = 6,63 × 10 - 34 3,0 × 10 8 8,485 × 10 - 24 = 2,341 × 10 - 2   m

Pronto!

Passo 5

E por último temos que comentar as diferenças entre os comprimentos de onda para os dois isótopos.

Nas transições entre l = 2 → l = 1 , a diferença foi:

Δ λ = 1,171 - 1,146 c m = 0,025   c m

A nas transições entre l = 1 → l = 0 , a diferença foi:

Δ λ = 2,341 - 2,291 c m = 0,0 50   c m

Isso mostra que a diferneça no comprimento de onda é bastante pequeno quando trocamos 35Cl por 37Cl.

Resposta

(a) Os comprimentos de onda são λ 2 → 1 = 1,146   c m e λ 1 → 0 = 2 , 291   c m .

(b) Os comprimentos de onda são λ 2 → 1 = 1,171   c m e λ 1 → 0 = 2,34 1   c m .

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